二階系統的響應

---

---

本章我們將討論二階系統的時間響應。考慮以下閉環控制系統的方框圖。這裡，開環傳遞函式$\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$連線到一個單位負反饋。

我們知道具有單位負反饋的閉環控制系統的傳遞函式為

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

將$G(s)=\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$代入上式。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\left (\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}{1+ \left ( \frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2}$$

分母項中's'的冪為二。因此，上述傳遞函式是二階的，該系統被稱為二階系統。

特徵方程為：

$$s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2=0$$

特徵方程的根為：

$$s=\frac{-2\omega \delta _n\pm \sqrt{(2\delta\omega _n)^2-4\omega _n^2}}{2}=\frac{-2(\delta\omega _n\pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1})}{2}$$

$$\Rightarrow s=-\delta \omega_n \pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1}$$

• 當δ = 0時，兩個根是虛數。
• 當δ = 1時，兩個根是實數且相等。
• 當δ > 1時，兩個根是實數但不相等。
• 當0 < δ < 1時，兩個根是複共軛。

我們可以將C(s)方程寫成：

$$C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$$

其中：

• C(s)是輸出訊號c(t)的拉普拉斯變換

• R(s)是輸入訊號r(t)的拉普拉斯變換

• ω_n是自然頻率

• δ是阻尼比。

按照以下步驟獲得時域中二階系統的響應（輸出）。

• 對輸入訊號$r(t)$進行拉普拉斯變換。

• 考慮方程$C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$

• 在上式中代入R(s)的值。

• 如果需要，對C(s)進行部分分式分解。

• 對C(s)進行拉普拉斯反變換。

二階系統的階躍響應

將單位階躍訊號作為二階系統的輸入。

單位階躍訊號的拉普拉斯變換為：

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

我們知道二階閉環控制系統的傳遞函式為：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

情況1：δ = 0

將δ = 0代入傳遞函式。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )R(s)$$

在上式中代入$R(s) = \frac{1}{s}$。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s^2+\omega_n^2)}$$

對等式兩邊進行拉普拉斯反變換。

$$c(t)=\left ( 1-\cos(\omega_n t) \right )u(t)$$

因此，當δ = 0時，二階系統的單位階躍響應將是一個具有恆定幅度和頻率的連續時間訊號。

情況2：δ = 1

將δ = 1代入傳遞函式。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)R(s)$$

在上式中代入$R(s) = \frac{1}{s}$。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)\left ( \frac{1}{s} \right)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}$$

對C(s)進行部分分式分解。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\omega_n}+\frac{C}{(s+\omega_n)^2}$$

簡化後，將得到A、B和C的值分別為1、-1和$-\omega _n$。將這些值代入C(s)的部分分式展開式。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_n}-\frac{\omega_n}{(s+\omega_n)^2}$$

對等式兩邊進行拉普拉斯反變換。

$$c(t)=(1-e^{-\omega_nt}-\omega _nte^{-\omega_nt})u(t)$$

因此，二階系統的單位階躍響應將試圖在穩態下達到階躍輸入。

情況3：0 < δ < 1

我們可以修改傳遞函式的分母項如下：

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta \omega_n)+(\delta \omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)$$

傳遞函式變為：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )R(s)$$

在上式中代入$R(s) = \frac{1}{s}$。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}$$

對C(s)進行部分分式分解。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

簡化後，將得到A、B和C的值分別為1、-1和$-2\delta \omega _n$。將這些值代入C(s)的部分分式展開式。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+2\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}-\frac{\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_n\sqrt{1-\delta^2}}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2} \right )$

在上式中將$\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$代之以$\omega_d$。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_d}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right )$$

對等式兩邊進行拉普拉斯反變換。

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\delta \omega_nt}\cos(\omega_dt)-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}e^{-\delta\omega_nt}\sin(\omega_dt) \right )u(t)$$

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( (\sqrt{1-\delta^2})\cos(\omega_dt)+\delta \sin(\omega_dt) \right ) \right )u(t)$$

如果$\sqrt{1-\delta^2}=\sin(\theta)$，則'δ'將是cos(θ)。將這些值代入上式。

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}(\sin(\theta)\cos(\omega_dt)+\cos(\theta)\sin(\omega_dt)) \right )u(t)$$

$$\Rightarrow c(t)=\left ( 1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta) \right )u(t)$$

因此，當'δ'在零和一之間時，二階系統的單位階躍響應具有阻尼振盪（幅度遞減）。

情況4：δ > 1

我們可以修改傳遞函式的分母項如下：

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta\omega_n)+(\delta\omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=\left ( s+\delta\omega_n \right )^2-\omega_n^2\left ( \delta^2-1 \right )$$

傳遞函式變為：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)} \right )R(s)$$

在上式中代入$R(s) = \frac{1}{s}$。

$C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-(\omega_n\sqrt{\delta^2-1})^2} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$

對C(s)進行部分分式分解。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$$

$$=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}+\frac{C}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}$$

簡化後，將得到A、B和C的值分別為1、$\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$和$\frac{-1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$。將這些值代入C(s)的部分分式展開式。

$$C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )$$

對等式兩邊進行拉普拉斯反變換。

$c(t)=\left ( 1+\left ( \frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} \right )u(t)$

由於它是過阻尼的，因此當δ > 1時，二階系統的單位階躍響應在穩態下永遠不會達到階躍輸入。

二階系統的衝激響應

可以使用以下兩種方法之一獲得二階系統的衝激響應。

• 在推導階躍響應的過程中，將R(s)的值視為1而不是$\frac{1}{s}$，遵循相關的步驟。

• 對階躍響應進行微分。

下表顯示了對於阻尼比的四種情況，二階系統的衝激響應。