機械系統建模

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在本章中，讓我們討論微分方程建模在機械系統中的應用。根據運動型別，機械系統可分為兩種。

• 平移機械系統
• 旋轉機械系統

平移機械系統的建模

平移機械系統沿直線運動。這些系統主要由三個基本元件組成：質量、彈簧和阻尼器。

如果對平移機械系統施加一個力，那麼它會受到系統質量、彈性和摩擦產生的反作用力的阻礙。由於施加的力和反作用力方向相反，因此作用在系統上的所有力的代數和為零。現在讓我們分別看看這三個元件產生的反作用力。

質量

質量是物體的一種屬性，它儲存動能。如果對質量為M的物體施加一個力，那麼它會受到質量產生的反作用力的阻礙。這個反作用力與物體的加速度成正比。假設彈性和摩擦可以忽略不計。

$$F_m\propto\: a$$

$$\Rightarrow F_m=Ma=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$

$$F=F_m=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$

其中，

• F 為施加的力

• F_m 為質量產生的反作用力

• M 為質量

• a 為加速度

• x 為位移

彈簧

彈簧是一種儲存勢能的元件。如果對彈簧K施加一個力，那麼它會受到彈簧彈性產生的反作用力的阻礙。這個反作用力與彈簧的位移成正比。假設質量和摩擦可以忽略不計。

$$F\propto\: x$$

$$\Rightarrow F_k=Kx$$

$$F=F_k=Kx$$

其中，

• F 為施加的力

• F_k 為彈簧彈性產生的反作用力

• K 為彈簧常數

• x 為位移

阻尼器

如果對阻尼器B施加一個力，那麼它會受到阻尼器摩擦產生的反作用力的阻礙。這個反作用力與物體的速度成正比。假設質量和彈性可以忽略不計。

$$F_b\propto\: \nu$$

$$\Rightarrow F_b=B\nu=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$

$$F=F_b=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$

其中，

• F_b 為阻尼器摩擦產生的反作用力

• B 為摩擦係數

• v 為速度

• x 為位移

旋轉機械系統的建模

旋轉機械系統繞固定軸旋轉。這些系統主要由三個基本元件組成：轉動慣量、扭轉彈簧和阻尼器。

如果對旋轉機械系統施加一個力矩，那麼它會受到系統轉動慣量、彈性和摩擦產生的反作用力矩的阻礙。由於施加的力矩和反作用力矩方向相反，因此作用在系統上的所有力矩的代數和為零。現在讓我們分別看看這三個元件產生的反作用力矩。

轉動慣量

在平移機械系統中，質量儲存動能。類似地，在旋轉機械系統中，轉動慣量儲存動能。

如果對轉動慣量為J的物體施加一個力矩，那麼它會受到轉動慣量產生的反作用力矩的阻礙。這個反作用力矩與物體的角加速度成正比。假設彈性和摩擦可以忽略不計。

$$T_j\propto\: \alpha$$

$$\Rightarrow T_j=J\alpha=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$

$$T=T_j=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$

其中，

• T 為施加的力矩

• T_j 為轉動慣量產生的反作用力矩

• J 為轉動慣量

• α 為角加速度

• θ 為角位移

扭轉彈簧

在平移機械系統中，彈簧儲存勢能。類似地，在旋轉機械系統中，扭轉彈簧儲存勢能。

如果對扭轉彈簧K施加一個力矩，那麼它會受到扭轉彈簧彈性產生的反作用力矩的阻礙。這個反作用力矩與扭轉彈簧的角位移成正比。假設轉動慣量和摩擦可以忽略不計。

$$T_k\propto\: \theta$$

$$\Rightarrow T_k=K\theta$$

$$T=T_k=K\theta$$

其中，

• T 為施加的力矩

• T_k 為扭轉彈簧彈性產生的反作用力矩

• K 為扭轉彈簧常數

• θ 為角位移

阻尼器

如果對阻尼器B施加一個力矩，那麼它會受到阻尼器旋轉摩擦產生的反作用力矩的阻礙。這個反作用力矩與物體的角速度成正比。假設轉動慣量和彈性可以忽略不計。

$$T_b\propto\: \omega$$

$$\Rightarrow T_b=B\omega=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$

$$T=T_b=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$

其中，

• T_b 為阻尼器旋轉摩擦產生的反作用力矩

• B 為旋轉摩擦係數

• ω 為角速度

• θ 為角位移