控制系統 - 伯德圖的繪製

在本章中，讓我們詳細瞭解如何繪製伯德圖。

伯德圖繪製規則

在繪製伯德圖時，請遵循以下規則。

• 將開環傳遞函式表示為標準時間常數形式。

• 在上述方程中代入 $s=j\omega$。

• 找到轉折頻率並按升序排列。

• 將伯德圖的起始頻率視為最小轉折頻率的 1/10 或 0.1 rad/sec，取較小值，並將伯德圖繪製到最大轉折頻率的 10 倍。

• 繪製每一項的幅頻特性，並將這些特性正確地組合起來。

• 繪製每一項的相頻特性，並將這些特性正確地組合起來。

注意 - 轉折頻率是指幅頻特性斜率發生變化的頻率。

示例

考慮閉環控制系統的開環傳遞函式

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{(s+2)(s+5)}$$

讓我們將此開環傳遞函式轉換為標準時間常數形式。

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{2\left( \frac{s}{2}+1 \right )5 \left( \frac{s}{5}+1 \right )}$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=\frac{s}{\left( 1+\frac{s}{2} \right )\left( 1+\frac{s}{5} \right )}$$

因此，我們可以使用前面提到的規則在半對數座標紙上繪製伯德圖。

利用伯德圖進行穩定性分析

根據這些引數的值，我們可以從伯德圖判斷控制系統是穩定的、臨界穩定的還是不穩定的。

• 增益交越頻率和相位交越頻率
• 增益裕度和相位裕度

相位交越頻率

相頻特性為 -180⁰ 的頻率稱為相位交越頻率。用 $\omega_{pc}$ 表示。相位交越頻率的單位為rad/sec。

增益交越頻率

幅頻特性幅值為零 dB 的頻率稱為增益交越頻率。用 $\omega_{gc}$ 表示。增益交越頻率的單位為rad/sec。

控制系統的穩定性基於相位交越頻率和增益交越頻率之間的關係，如下所示。

• 如果相位交越頻率 $\omega_{pc}$ 大於增益交越頻率 $\omega_{gc}$，則控制系統為穩定。

• 如果相位交越頻率 $\omega_{pc}$ 等於增益交越頻率 $\omega_{gc}$，則控制系統為臨界穩定。

• 如果相位交越頻率 $\omega_{pc}$ 小於增益交越頻率 $\omega_{gc}$，則控制系統為不穩定。

增益裕度

增益裕度 $GM$ 等於相位交越頻率處幅值的負值（以 dB 為單位）。

$$GM=20\log\left( \frac{1}{M_{pc}}\right )=20logM_{pc}$$

其中，$M_{pc}$ 是相位交越頻率處的幅值。增益裕度 (GM) 的單位為dB。

相位裕度

相位裕度 $PM$ 的公式為

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

其中，$\phi_{gc}$ 是增益交越頻率處的相位角。相位裕度的單位為度。

控制系統的穩定性基於增益裕度和相位裕度之間的關係，如下所示。

• 如果增益裕度 $GM$ 和相位裕度 $PM$ 均為正，則控制系統為穩定。

• 如果增益裕度 $GM$ 和相位裕度 $PM$ 均等於零，則控制系統為臨界穩定。

• 如果增益裕度 $GM$ 和/或相位裕度 $PM$ 為負，則控制系統為不穩定。