控制系統 - 數學模型

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控制系統可以用一組稱為數學模型的數學方程來表示。這些模型可用於控制系統的分析和設計。控制系統的分析是指在已知輸入和數學模型的情況下求解輸出。控制系統的設計是指在已知輸入和輸出的情況下求解數學模型。

以下數學模型最常用。

• 微分方程模型
• 傳遞函式模型
• 狀態空間模型

本章將討論前兩種模型。

微分方程模型

微分方程模型是控制系統的時域數學模型。微分方程模型的步驟如下：

• 將基本定律應用於給定的控制系統。

• 透過消除中間變數，得到關於輸入和輸出的微分方程。

示例

考慮以下所示的電路系統。該電路由電阻器、電感器和電容器組成。所有這些電氣元件都串聯連線。施加到該電路的輸入電壓為$v_i$，電容器兩端的電壓為輸出電壓$v_o$。

該電路的網孔方程為

$$v_i=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+v_o$$

將流過電容器的電流$i=c\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}$代入上式。

$$\Rightarrow\:v_i=RC\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+LC\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+v_o$$

$$\Rightarrow\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

上述方程是二階微分方程。

傳遞函式模型

傳遞函式模型是控制系統的s域數學模型。線性時不變(LTI)系統的傳遞函式定義為輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比，假設所有初始條件均為零。

如果$x(t)$和$y(t)$是LTI系統的輸入和輸出，則對應的拉普拉斯變換為$X(s)$和$Y(s)$。

因此，LTI系統的傳遞函式等於$Y(s)$和$X(s)$的比值。

$$即，傳遞函式 =\frac{Y(s)}{X(s)}$$

LTI系統的傳遞函式模型如下圖所示。

在這裡，我們用一個內部包含傳遞函式的方框來表示一個LTI系統。該方框具有輸入$X(s)$和輸出$Y(s)$。

示例

前面，我們得到一個電路系統的微分方程為

$$\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

對兩邊進行拉普拉斯變換。

$$s^2V_o(s)+\left ( \frac{sR}{L} \right )V_o(s)+\left ( \frac{1}{LC} \right )V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \left \{ s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC} \right \}V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC}}$$

其中，

• $v_i(s)$是輸入電壓$v_i$的拉普拉斯變換

• $v_o(s)$是輸出電壓$v_o$的拉普拉斯變換

上式是二階電路系統的傳遞函式。該系統的傳遞函式模型如下所示。

在這裡，我們用一個內部包含傳遞函式的方框來表示一個二階電路系統。該方框具有輸入$V_i(s)$和輸出$V_o(s)$。