控制系統 - 狀態空間模型

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線性時不變（LTI）系統的狀態空間模型可以表示為：

$$\dot{X}=AX+BU$$

$$Y=CX+DU$$

第一個和第二個方程分別稱為狀態方程和輸出方程。

其中：

• X和$\dot{X}$分別為狀態向量和微分狀態向量。

• U和Y分別為輸入向量和輸出向量。

• A為系統矩陣。

• B和C分別為輸入矩陣和輸出矩陣。

• D為前饋矩陣。

狀態空間模型的基本概念

本章涉及以下基本術語。

狀態

它是一組變數，用於總結系統的歷史，以便預測未來的值（輸出）。

狀態變數

所需狀態變數的數量等於系統中儲存元件的數量。

示例 - 流過電感的電流，跨電容的電壓

狀態向量

它是一個向量，其元素包含狀態變數。

在前面的章節中，我們討論了控制系統的兩個數學模型。它們分別是微分方程模型和傳遞函式模型。狀態空間模型可以從這兩個數學模型中的任何一個獲得。現在讓我們逐一討論這兩種方法。

從微分方程推導狀態空間模型

考慮以下RLC串聯電路。它具有輸入電壓$v_i(t)$，電路中的電流為$i(t)$。

該電路中有兩個儲能元件（電感和電容）。因此，狀態變數的數量等於二，這些狀態變數是流過電感的電流$i(t)$和跨電容的電壓$v_c(t)$。

從電路可知，輸出電壓$v_0(t)$等於跨電容的電壓$v_c(t)$。

$$v_0(t)=v_c(t)$$

應用基爾霍夫電壓定律。

$$v_i(t)=Ri(t)+L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+v_c(t)$$

$$\Rightarrow \frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}=-\frac{Ri(t)}{L}-\frac{v_c(t)}{L}+\frac{v_i(t)}{L}$$

跨電容的電壓為：

$$v_c(t)=\frac{1}{C} \int i(t) dt$$

對方程關於時間求導。

$$\frac{\text{d}v_c(t)}{\text{d}t}=\frac{i(t)}{C}$$

狀態向量，$X=\begin{bmatrix}i(t) \\v_c(t) \end{bmatrix}$

微分狀態向量，$\dot{X}=\begin{bmatrix}\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t} \\\frac{\text{d}v_c(t)}{\text{d}t} \end{bmatrix}$

我們可以將微分方程和輸出方程排列成狀態空間模型的標準形式，如下所示：

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t} \\\frac{\text{d}v_c(t)}{\text{d}t} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i(t) \\v_c(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{1}{L} \\0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_i(t) \end{bmatrix}$$

$$Y=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i(t) \\v_c(t) \end{bmatrix}$$

其中：

$$A=\begin{bmatrix}-\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}, \: B=\begin{bmatrix}\frac{1}{L} \\0 \end{bmatrix}, \: C=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix} \: 和 \: D=\begin{bmatrix}0 \end{bmatrix}$$

從傳遞函式推導狀態空間模型

根據分子中存在的項型別，考慮兩種型別的傳遞函式。

• 分子中具有常數項的傳遞函式。
• 分子中具有's'的多項式函式的傳遞函式。

分子中具有常數項的傳遞函式

考慮系統的以下傳遞函式

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}$$

重新排列上述方程為

$$(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)Y(s)=b_0 U(s)$$

在兩邊應用拉普拉斯逆變換。

$$\frac{\text{d}^ny(t)}{\text{d}t^n}+a_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}y(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+a_1\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+a_0y(t)=b_0 u(t)$$

令

$$y(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

$$\frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}=x_3=\dot{x}_2$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$\frac{\text{d}^{n-1}y(t)}{\text{d}t^{n-1}}=x_n=\dot{x}_{n-1}$$

$$\frac{\text{d}^ny(t)}{\text{d}t^n}=\dot{x}_n$$

且$u(t)=u$

則

$$\dot{x}_n+a_{n-1}x_n+...+a_1x_2+a_0x_1=b_0 u$$

從上述方程，我們可以寫出以下狀態方程。

$$\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+b_0 u$$

輸出方程為：

$$y(t)=y=x_1$$

狀態空間模型為：

$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \\\vdots \\\dot{x}_{n-1} \\\dot{x}_n \end{bmatrix}$

$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & \dotso & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \dotso & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dotso & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \dotso & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0 \\b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$

$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

這裡，$D=\left [ 0 \right ]。

示例

求具有以下傳遞函式的系統的狀態空間模型。

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

重新排列上述方程為：

$$(s^2+s+1)Y(s)=U(s)$$

在兩邊應用拉普拉斯逆變換。

$$\frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}+\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+y(t)=u(t)$$

令

$$y(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

且$u(t)=u$

則狀態方程為

$$\dot{x}_2=-x_1-x_2+u$$

輸出方程為

$$y(t)=y=x_1$$

狀態空間模型為

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}\left [u \right ]$$

$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

分子中具有's'的多項式函式的傳遞函式

考慮系統的以下傳遞函式

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\left( \frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0} \right )(b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)$$

上述方程為級聯的兩個模組的傳遞函式乘積的形式。

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\left(\frac{V(s)}{U(s)} \right ) \left(\frac{Y(s)}{V(s)} \right )$$

這裡，

$$\frac{V(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$

重新排列上述方程為

$$(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)V(s)=U(s)$$

在兩邊應用拉普拉斯逆變換。

$$\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}+a_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+a_1 \frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+a_0v(t)=u(t)$$

令

$$v(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}v((t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

$$\frac{\text{d}^2v(t)}{\text{d}t^2}=x_3=\dot{x}_2$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}=x_n=\dot{x}_{n-1}$$

$$\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}=\dot{x}_n$$

且$u(t)=u$

則狀態方程為

$$\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u$$

考慮

$$\frac{Y(s)}{V(s)}=b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0$$

重新排列上述方程為

$$Y(s)=(b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)V(s)$$

在兩邊應用拉普拉斯逆變換。

$$y(t)=b_n\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}+b_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+b_1\frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+b_0v(t)$$

透過將狀態變數和$y(t)=y$代入上述方程，我們將得到輸出方程為：

$$y=b_n\dot{x}_n+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$

代入$\dot{x}_n$的值到上述方程。

$$y=b_n(-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u)+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$

$$y=(b_0-b_na_0)x_1+(b_1-b_na_1)x_2+...+(b_{n-1}-b_na_{n-1})x_n+b_n u$$

狀態空間模型為

$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \\\vdots \\\dot{x}_{n-1} \\\dot{x}_n \end{bmatrix}$

$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & \dotso & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \dotso & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dotso & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \dotso & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0 \\b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$

$$Y=[b_0-b_na_0 \quad b_1-b_na_1 \quad ... \quad b_{n-2}-b_na_{n-2} \quad b_{n-1}-b_na_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

如果$b_n = 0$，則

$$Y=[b_0 \quad b_1 \quad ...\quad b_{n-2} \quad b_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$