控制系統 - 穩定性分析

本章將討論使用勞斯-赫爾維茨穩定性判據在s域進行的穩定性分析。在此判據中，我們需要特徵方程來確定閉環控制系統的穩定性。

勞斯-赫爾維茨穩定性判據

勞斯-赫爾維茨穩定性判據具有一個必要條件和一個充分條件。如果任何控制系統不滿足必要條件，則可以說該控制系統是不穩定的。但是，如果控制系統滿足必要條件，則它可能穩定也可能不穩定。因此，充分條件有助於確定控制系統是否穩定。

勞斯-赫爾維茨穩定性的必要條件

必要條件是特徵多項式的係數應為正。這意味著特徵方程的所有根都應該具有負實部。

考慮n階特徵方程：

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0=0$$

請注意，n階特徵方程中不應缺少任何項。這意味著n階特徵方程不應有任何係數為零。

勞斯-赫爾維茨穩定性的充分條件

充分條件是勞斯陣列第一列的所有元素都具有相同的符號。這意味著勞斯陣列第一列的所有元素都應為正或負。

勞斯陣列法

如果特徵方程的所有根都存在於s平面的左半平面，則控制系統是穩定的。如果特徵方程至少有一個根存在於s平面的右半平面，則控制系統是不穩定的。因此，我們必須找到特徵方程的根才能知道控制系統是穩定的還是不穩定的。但是，隨著階數的增加，找到特徵方程的根變得困難。

因此，為了克服這個問題，我們有勞斯陣列法。在這種方法中，不需要計算特徵方程的根。首先構建勞斯表，然後找到勞斯表第一列中符號變化的次數。勞斯表第一列中符號變化的次數給出了存在於s平面右半平面的特徵方程根的個數，並且控制系統是不穩定的。

按照此步驟構建勞斯表。

用特徵多項式的係數填充勞斯陣列的前兩行，如下表所示。從$s^n$的係數開始，一直到$s^0$的係數。
用下表中提到的元素填充勞斯陣列的其餘行。繼續此過程，直到得到$s^0$行的第一列元素為$a_n$。這裡，$a_n$是特徵多項式中$s^0$的係數。

注意 − 如果勞斯表的任何行元素有一些公因子，則可以將行元素除以該因子，以便簡化。

下表顯示了n階特徵多項式的勞斯陣列。

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0$$

$s^n$	$a_0$	$a_2$	$a_4$	$a_6$	...	...
$s^{n-1}$	$a_1$	$a_3$	$a_5$	$a_7$	...	...
$s^{n-2}$	$b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$	$b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$	$b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$	...	...	...
$s^{n-3}$	$c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$	$c_2=\frac{b_1a_5-b_3a_1}{b_1}$	$\vdots$
$\vdots $	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$s^1$	$\vdots$	$\vdots$
$s^0$	$a_n$

示例

讓我們找到具有以下特徵方程的控制系統的穩定性：

$$s^4+3s^3+3s^2+2s+1=0$$

步驟1 − 驗證勞斯-赫爾維茨穩定性的必要條件。

特徵多項式$s^4+3s^3+3s^2+2s+1$的所有係數均為正。因此，控制系統滿足必要條件。

步驟2 − 為給定的特徵多項式構建勞斯陣列。

$s^4$	$1$	$3$	$1$
$s^3$	$3$	$2$
$s^2$	$\frac{(3 \times 3)-(2 \times 1)}{3}=\frac{7}{3}$	$\frac{(3 \times 1)-(0 \times 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$
$s^1$	$\frac{\left ( \frac{7}{3}\times 2 \right )-(1 \times 3)}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$
$s^0$	$1$

步驟3 − 驗證勞斯-赫爾維茨穩定性的充分條件。

勞斯陣列第一列的所有元素均為正。勞斯陣列第一列中沒有符號變化。因此，控制系統是穩定的。

勞斯陣列的特殊情況

在構建勞斯表時，我們可能會遇到兩種情況。這兩種情況下難以完成勞斯表。

這兩種特殊情況是：

勞斯陣列的任何行的第一個元素為零。
勞斯陣列的任何行的所有元素都為零。

現在讓我們逐一討論如何克服這兩種情況下的困難。

勞斯陣列的任何行的第一個元素為零

如果勞斯陣列的任何一行只包含第一個元素為零，而至少一個其餘元素具有非零值，則用一個小的正整數$\epsilon$替換第一個元素。然後繼續完成勞斯表的過程。現在，透過將$\epsilon$趨於零來找到勞斯表第一列中符號變化的次數。

示例

讓我們找到具有以下特徵方程的控制系統的穩定性：

$$s^4+2s^3+s^2+2s+1=0$$

步驟1 − 驗證勞斯-赫爾維茨穩定性的必要條件。

特徵多項式$s^4+2s^3+s^2+2s+1$的所有係數均為正。因此，控制系統滿足必要條件。

步驟2 − 為給定的特徵多項式構建勞斯陣列。

$s^4$	$1$	$1$	$1$
$s^3$	2 1	2 1
$s^2$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(0 \times 1)}{1}=1$
$s^1$
$s^0$

$s^3$行的元素有公因子2。因此，所有這些元素都除以2。

特殊情況(i) − $s^2$行的只有第一個元素為零。因此，用$\epsilon$替換它並繼續完成勞斯表的過程。

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	$\epsilon$	1
$s^1$	$\frac{\left ( \epsilon \times 1 \right )-\left ( 1 \times 1 \right )}{\epsilon}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon}$
$s^0$	1

步驟3 − 驗證勞斯-赫爾維茨穩定性的充分條件。

當$\epsilon$趨於零時，勞斯表變為：

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	0	1
$s^1$	-∞
$s^0$	1

勞斯表第一列中有兩次符號變化。因此，控制系統是不穩定的。

勞斯陣列的任何行的所有元素都為零

在這種情況下，請遵循以下兩個步驟：

編寫位於零行上方的行的輔助方程A(s)。
對方程A(s)關於s求導。用這些係數填充零行。

示例

讓我們找到具有以下特徵方程的控制系統的穩定性：

$$s^5+3s^4+s^3+3s^2+s+3=0$$

步驟1 − 驗證勞斯-赫爾維茨穩定性的必要條件。

給定特徵多項式的所有係數均為正。因此，控制系統滿足必要條件。

步驟2 − 為給定的特徵多項式構建勞斯陣列。

$s^5$	1	1	1
$s^4$	3 1	3 1	3 1
$s^3$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$
$s^2$
$s^1$
$s^0$

$s^4$行的元素有公因子3。因此，所有這些元素都除以3。

特殊情況(ii) − $s^3$行的所有元素都為零。因此，編寫$s^4$行的輔助方程A(s)。

$$A(s)=s^4+s^2+1$$

對方程關於s求導。

$$\frac{\text{d}A(s)}{\text{d}s}=4s^3+2s$$

將這些係數放在$s^3$行。

$s^5$	1	1	1
$s^4$	1	1	1
$s^3$	4 2	2 1
$s^2$	$\frac{(2 \times 1)-(1 \times 1)}{2}=0.5$	$\frac{(2 \times 1)-(0 \times 1)}{2}=1$
$s^1$	$\frac{(0.5 \times 1)-(1 \times 2)}{0.5}=\frac{-1.5}{0.5}=-3$
$s^0$	1

步驟3 − 驗證勞斯-赫爾維茨穩定性的充分條件。

勞斯表第一列中有兩次符號變化。因此，控制系統是不穩定的。

在勞斯-赫爾維茨穩定性判據中，我們可以知道閉環極點是在s平面的左半平面、s平面的右半平面還是虛軸上。因此，我們無法找到控制系統的性質。為了克服這一侷限性，有一種稱為根軌跡的技術。我們將在接下來的兩章中討論這種技術。

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