梅森增益公式

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現在讓我們討論梅森增益公式。假設訊號流圖中存在“N”條前向通路。訊號流圖的輸入節點和輸出節點之間的增益只不過是系統的**傳遞函式**。它可以透過使用梅森增益公式計算。

梅森增益公式為

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^N _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

其中，

• C(s) 是輸出節點

• R(s) 是輸入節點

• T 是$R(s)$ 和 $C(s)$ 之間的傳遞函式或增益

• P_i 是第 i 個前向通路增益

$\Delta =1-(所有單個迴路增益之和)$

$+(所有可能的兩個互不接觸迴路的增益乘積之和)$

$$-(所有可能的三個互不接觸迴路的增益乘積之和)+...$$

Δ_i 由 Δ 透過去除與第 i 個前向通路接觸的迴路得到.

為了理解這裡涉及的基本術語，請考慮以下訊號流圖。

通路

它是從一個節點到任何其他節點沿著分支方向的遍歷。它不應遍歷任何節點超過一次。

示例 − $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5$ 和 $y_5 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$

前向通路

從輸入節點到輸出節點存在的通路稱為前向通路。

示例 − $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ 和 $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$。

前向通路增益

它是透過計算前向通路所有分支增益的乘積獲得的。

示例 − $abcde$ 是 $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ 的前向通路增益，而 $abge$ 是 $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ 的前向通路增益。

迴路

從一個節點開始並在同一節點結束的通路稱為迴路。因此，它是一個閉合通路。

示例 − $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ 和 $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$。

迴路增益

它是透過計算迴路所有分支增益的乘積獲得的。

示例 − $b_j$ 是 $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ 的迴路增益，而 $g_h$ 是 $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$ 的迴路增益。

互不接觸迴路

這些是沒有任何公共節點的迴路。

示例 − 迴路 $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ 和 $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ 是互不接觸的。

使用梅森增益公式計算傳遞函式

讓我們考慮相同的訊號流圖來尋找傳遞函式。

• 前向通路的數量，N = 2。

• 第一條前向通路為 - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$。

• 第一條前向通路增益，$p_1 = abcde$。

• 第二條前向通路為 - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$。

• 第二條前向通路增益，$p_2 = abge$。

• 單個迴路的數量，L = 5。

• 迴路為 - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$，$y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$，$y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$，$y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ 和 $y_5 \rightarrow y_5$。

• 迴路增益為 - $l_1 = bj$，$l_2 = gh$，$l_3 = cdh$，$l_4 = di$ 和 $l_5 = f$。

• 兩個互不接觸迴路的數量 = 2。

• 第一對互不接觸迴路為 - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$，$y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$。

• 第一對互不接觸迴路的增益乘積，$l_1l_4 = bjdi$

• 第二對互不接觸迴路為 - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$，$y_5 \rightarrow y_5$。

• 第二對互不接觸迴路的增益乘積為 - $l_1l_5 = bjf$

在此訊號流圖中不存在更高數量的（超過兩個）互不接觸迴路。

我們知道，

$\Delta =1-(所有單個迴路增益之和)$

$+(所有可能的兩個互不接觸迴路的增益乘積之和)$

$$-(所有可能的三個互不接觸迴路的增益乘積之和)+...$$

將這些值代入上述方程，

$\Delta =1-(bj+gh+cdh+di+f)+(bjdi+bjf)-(0)$

$\Rightarrow \Delta=1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf$

沒有與第一條前向通路互不接觸的迴路。

所以，$\Delta_1=1$。

類似地，$\Delta_2=1$。因為沒有與第二條前向通路互不接觸的迴路。

將 N = 2 代入梅森增益公式

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^2 _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{P_1\Delta_1+P_2\Delta_2}{\Delta}$$

將所有必要的值代入上述方程。

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)1+(abge)1}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

$$\Rightarrow T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

因此，傳遞函式為 -

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$