控制系統 - 根軌跡

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在根軌跡圖中，我們可以觀察到閉環極點的路徑。因此，我們可以識別控制系統的特性。在這種技術中，我們將使用開環傳遞函式來了解閉環控制系統的穩定性。

根軌跡基礎

根軌跡是透過將系統增益 K 從零變到無窮大，得到特徵方程根的軌跡。

我們知道，閉環控制系統的特徵方程為

$$1+G(s)H(s)=0$$

我們可以將 $G(s)H(s)$ 表示為

$$G(s)H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}$$

其中，

• K 表示乘法因子

• N(s) 表示分子項，具有 's' 的 n 階多項式（因式分解）。

• D(s) 表示分母項，具有 's' 的 m 階多項式（因式分解）。

將 $G(s)H(s)$ 的值代入特徵方程。

$$1+k\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

$$\Rightarrow D(s)+KN(s)=0$$

情況 1 - K = 0

如果 $K=0$，則 $D(s)=0$。

這意味著，當 K 為零時，閉環極點等於開環極點。

情況 2 - K = ∞

將上述特徵方程重寫為

$$K\left(\frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)} \right )=0 \Rightarrow \frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

在上述方程中代入 $K = \infty$。

$$\frac{1}{\infty}+\frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow \frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow N(s)=0$$

如果 $K=\infty$，則 $N(s)=0$。這意味著當 K 為無窮大時，閉環極點等於開環零點。

從以上兩種情況，我們可以得出結論：根軌跡分支從開環極點開始，在開環零點結束。

角條件和幅值條件

根軌跡分支上的點滿足角條件。因此，角條件用於瞭解該點是否存在於根軌跡分支上。我們可以使用幅值條件找到根軌跡分支上點的 K 值。因此，我們可以對滿足角條件的點使用幅值條件。

閉環控制系統的特徵方程為

$$1+G(s)H(s)=0$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=-1+j0$$

$G(s)H(s)$ 的**相位角**為

$$\angle G(s)H(s)=\tan^{-1}\left ( \frac{0}{-1} \right )=(2n+1)\pi$$

**角條件**是指開環傳遞函式的相位角為 180⁰ 的奇數倍的點。

$G(s)H(s)$ 的**幅值**為 -

$$|G(s)H(s)|=\sqrt {(-1)^2+0^2}=1$$

**幅值條件**是指滿足角條件的點，在該點開環傳遞函式的幅值為 1。