控制系統 - 極座標圖

在之前的章節中，我們討論了波德圖。在那裡，我們分別繪製了幅值和相位與頻率的關係曲線。現在讓我們討論極座標圖。極座標圖是在幅值和相位之間繪製的曲線圖。這裡，幅值僅用普通值表示。

G(jω)H(jω)的極座標形式為：

$$G(j\omega)H(j\omega)=|G(j\omega)H(j\omega)| \angle G(j\omega)H(j\omega)$$

極座標圖是透過改變ω從零到∞來繪製G(jω)H(jω)的幅值和相位角之間的曲線圖。極座標圖紙如下所示。

該圖紙由同心圓和徑向線組成。同心圓和徑向線分別表示幅值和相位角。這些角度以逆時針方向用正值表示。類似地，我們可以用順時針方向的負值表示角度。例如，逆時針方向的270⁰角等於順時針方向的−90⁰角。

繪製極座標圖的規則

請遵循以下規則繪製極座標圖。

• 在開環傳遞函式中，將s替換為jω。

• 寫出G(jω)H(jω)的幅值和相位的表示式。

• 透過將ω=0代入，找到G(jω)H(jω)的起始幅值和相位。因此，極座標圖從此幅值和相位角開始。

• 透過將ω=∞代入，找到G(jω)H(jω)的結束幅值和相位。因此，極座標圖以此幅值和相位角結束。

• 檢查極座標圖是否與實軸相交，方法是將G(jω)H(jω)的虛數項設為零，並找到ω的值。

• 檢查極座標圖是否與虛軸相交，方法是將G(jω)H(jω)的實數項設為零，並找到ω的值。

• 為了更清晰地繪製極座標圖，請考慮ω的其他值，找到G(jω)H(jω)的幅值和相位。

示例

考慮閉環控制系統的開環傳遞函式。

$$G(s)H(s)=\frac{5}{s(s+1)(s+2)}$$

讓我們使用上述規則繪製該控制系統的極座標圖。

步驟1 - 在開環傳遞函式中，將s替換為jω。

$$G(j\omega)H(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+2)}$$

開環傳遞函式的幅值為：

$$M=\frac{5}{\omega(\sqrt{\omega^2+1})(\sqrt{\omega^2+4})}$$

開環傳遞函式的相位角為：

$$\phi=-90^0-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}\frac{\omega}{2}$$

步驟2 - 下表顯示了開環傳遞函式在ω=0 rad/sec和ω=∞ rad/sec時的幅值和相位角。

∞

-270 或 90

因此，極座標圖從(∞,−90⁰)開始，在(0,−270⁰)結束。括號中的第一項和第二項分別表示幅值和相位角。

步驟3 - 基於起始和結束極座標，該極座標圖將與負實軸相交。與負實軸對應的相位角為−180⁰或180⁰。因此，透過將開環傳遞函式的相位角等於−180⁰或180⁰，我們將得到ω值為√2。