網路理論 -疊加定理

疊加定理基於電氣電路響應與激勵之間線性關係的概念。它指出，當多個獨立電源同時作用時，線性電路中特定支路的響應等於每個獨立電源單獨作用時產生的響應之和。

在這種方法中，我們將一次只考慮一個獨立電源。因此，我們必須從電路中消除其餘的獨立電源。我們可以透過短接電壓源的兩端來消除電壓源，類似地，透過斷開電流源的兩端來消除電流源。

因此，如果存在“n”個獨立電源，我們需要找到特定支路的響應“n”次。特定支路的響應可以是流過該支路的電流或該支路上的電壓。

疊加定理的步驟

按照以下步驟，使用疊加定理找到特定支路的響應。

步驟 1 - 透過考慮一個獨立電源並消除網路中存在的其餘獨立電源，找到特定支路的響應。

步驟 2 - 對網路中存在的每個獨立電源重複步驟 1。

步驟 3 - 將所有響應相加，以獲得網路中所有獨立電源都存在時特定支路的整體響應。

使用疊加定理求解以下電路中 20 Ω 電阻的電流。

步驟 1 - 讓我們透過只考慮20 V 電壓源來找到流過 20 Ω 電阻的電流。在這種情況下，我們可以透過將其斷路來消除 4 A 電流源。修改後的電路圖如下所示。

除了地以外，上述電路中只有一個主節點。因此，我們可以使用節點分析法。節點電壓 V₁ 在下圖中標記。這裡，V₁ 是節點 1 相對於地的電壓。

節點 1 的節點方程為

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1}{10 + 20} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{6V_1 - 120 + 3V_1 + V_1}{30} = 0$$

$$\Rightarrow 10V_1 = 120$$

$$\Rightarrow V_1 = 12V$$

可以透過以下簡化來找到流過 20 Ω 電阻的電流。

$$I_1 = \frac{V_1}{10 + 20}$$

將 V₁ 的值代入上述方程。

$$I_1 = \frac{12}{10 + 20} = \frac{12}{30} = 0.4 A$$

因此，當僅考慮 20 V 電壓源時，流過 20 Ω 電阻的電流為0.4 A。

步驟 2 - 讓我們透過只考慮4 A 電流源來找到流過 20 Ω 電阻的電流。在這種情況下，我們可以透過將其短路來消除 20 V 電壓源。修改後的電路圖如下所示。

在上圖電路中，A 和 B 端子左側有三個電阻。我們可以用一個等效電阻替換這些電阻。這裡，5 Ω 和 10 Ω 電阻並聯連線，整個組合與 10 Ω 電阻串聯連線。

A 和 B 端子左側的等效電阻為

$$R_{AB} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

簡化的電路圖如下所示。

我們可以使用電流分配原理找到流過 20 Ω 電阻的電流。

$$I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

將 $I_S = 4A,\: R_1 = \frac{40}{3} \Omega$ 和 $R_2 = 20 \Omega$ 代入上述方程。

$$I_2 = 4 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup = 4 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 1.6 A$$

因此，當僅考慮 4 A 電流源時，流過 20 Ω 電阻的電流為1.6 A。

步驟 3 - 透過將我們在步驟 1 和步驟 2 中得到的兩個電流相加，我們將得到給定電路中 20 Ω 電阻的電流。在數學上，可以寫成

$$I = I_1 + I_2$$

將I₁ 和I₂ 的值代入上述方程。

$$I = 0.4 + 1.6 = 2 A$$

因此，給定電路中 20 Ω 電阻的電流為2 A。

注意 - 我們不能直接應用疊加定理來求解線性電路中任何電阻的功率，只需將由於每個獨立電源而傳遞到該電阻的功率相加。相反，我們可以使用疊加定理計算流過該電阻的總電流或該電阻上的電壓，並由此使用 $I^2 R$ 或 $\frac{V^2}{R}$ 計算傳遞到該電阻的功率。

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