網路理論 - 串聯諧振

---

---

諧振是由於電路上存在電感和電容等儲能元件而產生的。它是無線電和電視接收機設計的根本概念，它們的設計方式應能夠僅選擇所需的電臺頻率。

諧振主要分為兩種型別，即串聯諧振和並聯諧振。這些分類是基於網路元件是串聯還是並聯連線。在本章中，讓我們討論串聯諧振。

串聯諧振電路圖

如果諧振發生在串聯 RLC 電路中，則稱為串聯諧振。考慮以下串聯 RLC 電路，它以相量域表示。

此處，電阻、電感和電容等無源元件串聯連線。整個組合與輸入正弦電壓源串聯。

對迴路應用KVL。

$$V - V_R - V_L - V_C = 0$$

$$\Rightarrow V - IR - I(j X_L) - I(-j X_C) = 0$$

$$\Rightarrow V = IR + I(j X_L) + I(-j X_C)$$

$\Rightarrow V = I[R + j(X_L - X_C)]$公式 1

上述公式的形式為V = IZ。

因此，串聯 RLC 電路的阻抗 Z 為

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

諧振時的引數和電量

現在，讓我們逐一推導串聯 RLC 電路諧振時引數和電量的值。

諧振頻率

發生諧振的頻率稱為諧振頻率 f_r。在串聯 RLC 電路中，當阻抗 Z 的虛部為零時發生諧振，即 $X_L - X_C$ 的值應等於零。

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

將 $X_L = 2 \pi f L$ 和 $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ 代入上述公式。

$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$

$$\Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2 L C}$$

$$\Rightarrow f = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

因此，串聯 RLC 電路的諧振頻率 f_r 為

$$f_r = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

其中，L 是電感的電感值，C 是電容的電容值。

串聯 RLC 電路的諧振頻率 f_r 僅取決於電感L 和電容C。但它與電阻R 無關。

阻抗

我們得到串聯 RLC 電路的阻抗 Z 為

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

將 $X_L = X_C$ 代入上述公式。

$$Z = R + j(X_C - X_C)$$

$$\Rightarrow Z = R + j(0)$$

$$\Rightarrow Z = R$$

在諧振時，串聯 RLC 電路的阻抗 Z 等於電阻R 的值，即Z = R。

流過電路的電流

將 $X_L - X_C = 0$ 代入公式 1。

$$V = I[R + j(0)]$$

$$\Rightarrow V = IR$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

因此，串聯 RLC 電路在諧振時流過的電流為$\mathbf{\mathit{I = \frac{V}{R}}}$。

在諧振時，串聯 RLC 電路的阻抗達到最小值。因此，在諧振時，最大電流流過該電路。

電阻兩端的電壓

電阻兩端的電壓為

$$V_R = IR$$

將I 的值代入上述公式。

$$V_R = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup R$$

$$\Rightarrow V_R = V$$

因此，諧振時電阻兩端的電壓為V_R = V。

電感兩端的電壓

電感兩端的電壓為

$$V_L = I(jX_L)$$

將I 的值代入上述公式。

$$V_L = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (jX_L)$$

$$\Rightarrow V_L = j \lgroup \frac{X_L}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_L = j QV$$

因此，諧振時電感兩端的電壓為$V_L = j QV$。

因此，諧振時電感兩端的電壓幅值為

$$|V_L| = QV$$

其中Q 為品質因數，其值為$\frac{X_L}{R}$

電容兩端的電壓

電容兩端的電壓為

$$V_C = I(-j X_C)$$

將I 的值代入上述公式。

$$V_C = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (-j X_C)$$

$$\Rightarrow V_C = -j \lgroup \frac{X_C}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_C = -jQV$$

因此，諧振時電容兩端的電壓為$\mathbf{\mathit{V_C = -jQV}}$。

因此，諧振時電容兩端的電壓幅值為

$$|V_C| = QV$$

其中Q 為品質因數，其值為$\frac{X_{C}}{R}$

注意 - 串聯諧振 RLC 電路稱為電壓放大電路，因為電感和電容兩端的電壓幅值等於輸入正弦電壓 V 的 Q 倍。