網路理論 - 德爾塔-星形轉換

在上一章中，我們討論了一個與等效電阻相關的例題。在那裡，我們很容易計算出給定電網路的端點 A 和 B 之間的等效電阻。因為，在每一步中，我們都得到了串聯或並聯連線的電阻組合。

但是，在某些情況下，很難透過遵循先前的方法來簡化網路。例如，以德爾塔 (δ) 形或星形連線的電阻。在這種情況下，我們必須轉換網路的一種形式到另一種形式，以便透過使用串聯組合或並聯組合來進一步簡化它。在本章中，讓我們討論一下德爾塔-星形轉換。

德爾塔網路

考慮下圖所示的德爾塔網路。

以下等式表示當第三個端點保持斷開時，德爾塔網路兩個端點之間的等效電阻。

$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

下圖顯示了與上述德爾塔網路對應的等效星形網路。

以下等式表示當第三個端點保持斷開時，星形網路兩個端點之間的等效電阻。

$$R_{AB} = R_A + R_B$$

$$R_{BC} = R_B + R_C$$

$$R_{CA} = R_C + R_A$$

我們將透過將上述等式的右邊項（其左邊項相同）相等得到以下等式。

$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 1

$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 2

$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 3

透過將上述三個等式相加，我們將得到

$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ 等式 4

從等式 4 中減去等式 2。

$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

透過從等式 4 中減去等式 3，我們將得到

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

透過從等式 4 中減去等式 1，我們將得到

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

透過使用上述關係，我們可以從德爾塔網路的電阻中找到星形網路的電阻。這樣，我們可以將德爾塔網路轉換為星形網路。

讓我們計算星形網路的電阻，它們等效於下圖所示的德爾塔網路。

給定德爾塔網路的電阻為R₁ = 10 Ω，R₂ = 60 Ω 和R₃ = 30 Ω。

我們知道星形網路的電阻用德爾塔網路的電阻表示的以下關係。

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

將R₁、R₂和R₃的值代入上述等式。

$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$

$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$

$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$

因此，我們得到了星形網路的電阻為R_A = 6 Ω，R_B = 18 Ω和R_C = 3 Ω，它們等效於給定德爾塔網路的電阻。

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