網路理論 -交流電路的響應

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在上一章中，我們討論了直流電路的暫態響應和穩態響應。本章，讓我們討論一下交流電路的響應。我們在上一章中討論的暫態響應和穩態響應的概念在這裡也很有用。

求解RL串聯電路的響應

考慮以下RL串聯電路圖。

在上圖電路中，開關一直處於t = 0之前的斷開狀態，並在t = 0時閉合。因此，在該時刻之前，具有V_m伏峰值電壓的交流電壓源未連線到RL串聯電路。所以，電感器中沒有初始電流。

當開關處於閉合位置時的電路圖如下所示。

現在，由於具有V_m伏峰值電壓的交流電壓源已連線到RL串聯電路，電流i(t)流過整個電路。

我們知道，流過上述電路的電流i(t)將包含兩項，一項表示暫態部分，另一項表示穩態部分。

數學上，它可以表示為

$i(t) = i_{Tr}(t) + i_{ss}(t)$公式1

其中，

• $i_{Tr}(t)$是流過電路的電流的暫態響應。

• $i_{ss}(t)$是流過電路的電流的穩態響應。

在上一章中，我們得到了流過RL串聯電路的電流的暫態響應。其形式為$Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$。

將$i_{Tr}(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$代入公式1。

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + i_{ss}(t)$公式2

穩態電流的計算

如果將正弦訊號作為輸入施加到線性電路，則它會產生一個穩態輸出，該輸出也是一個正弦訊號。輸入和輸出正弦訊號將具有相同的頻率，但幅度和相位角不同。

當正弦電壓源激勵線性電路時，我們可以使用拉普拉斯變換方法計算電路的穩態響應。

當開關處於閉合位置時的s域電路圖如下所示。

在上圖電路中，所有量和引數都在s域表示。這些是時域量和引數的拉普拉斯變換。

上述電路的傳遞函式為

$$H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{Z(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{R + sL}$$

在上式中代入$s = j \omega$。

$$H(j \omega) = \frac{1}{R + j \omega L}$$

$\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$的幅值為

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{R^2 + {\omega}^2 L^2}}$$

$\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$的相位角為

$$\angle H(j \omega) = -tan^{-1} \lgroup \frac{\omega L}{R} \rgroup$$

我們將透過以下兩個步驟得到穩態電流$i_{ss}(t)$：

• 將輸入正弦電壓的峰值電壓和$H(j \omega)$的幅值相乘。

• 將輸入正弦電壓和$H(j \omega)$的相位角相加。

穩態電流$i_{ss}(t)$將為

$$i_{ss}(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

將$i_{ss}(t)$的值代入公式2。

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$公式3

我們知道電路中沒有初始電流。因此，為了找到常數K的值，將t = 0和i(t) = 0代入公式3。

$$0 = Ke^{-\lgroup \frac{0}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega (0) + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow 0 = K + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow K = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

將K的值代入公式3。

$i(t) = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$公式4

公式4表示當RL串聯電路由正弦電壓源激勵時流過它的電流。它包含兩項。第一項和第二項分別表示電流的暫態響應和穩態響應。

我們可以忽略公式4的第一項，因為它的值遠小於1。因此，流過電路的最終電流將為

$$i(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

它只包含穩態項。因此，我們只需要找到交流電路的穩態響應，而忽略其暫態響應。