最大功率傳輸定理



負載接收到的功率大小是電力和電子應用中的一個重要引數。在直流電路中,我們可以用一個電阻 RL 歐姆來表示負載。同樣,在交流電路中,我們可以用一個阻抗為 ZL 歐姆的複雜負載來表示它。

最大功率傳輸定理指出,只有當負載電阻等於電源電阻時,直流電壓源才能向可變負載電阻傳遞最大功率。

同樣,最大功率傳輸定理指出,只有當負載阻抗等於電源阻抗的共軛複數時,交流電壓源才能向可變複雜負載傳遞最大功率。

在本章中,讓我們討論一下直流電路的最大功率傳輸定理。

最大功率傳輸定理的證明

將任何二端線性網路或電路替換為可變負載電阻(電阻為 RL 歐姆)左側的戴維南等效電路。我們知道戴維南等效電路類似於一個實際電壓源。

此概念如下圖所示。

Maximum Power Transfer

負載電阻上耗散的功率為

$$P_L = I^2 R_L$$

將 $I = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}$ 代入上式。

$$P_L = \lgroup \frac{V_{Th}}{(R_{Th} + R_L)} \rgroup ^2 R_L$$

$\Rightarrow P_L = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_L}{(R_{Th} + R_L)^2} \rbrace$ 公式1

最大功率傳輸的條件

為了求最大值或最小值,一階導數為零。因此,對公式1關於 RL 求導,並令其等於零。

$$\frac{dP_L}{dR_L} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{(R_{Th} + R_L)^2 \times 1 - R_L \times 2(R_{Th} + R_L)}{(R_{Th} + R_L)^4} \rbrace = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)^2 -2R_L(R_{Th} + R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)(R_{Th} + R_L - 2R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} - R_L) = 0$$

$$\Rightarrow R_{Th} = R_L\:或\:R_L = R_{Th}$$

因此,負載上最大功率耗散的條件是 $R_L = R_{Th}$。這意味著,如果負載電阻的值等於電源電阻(即戴維南電阻)的值,則負載上耗散的功率將為最大值。

最大功率傳輸的值

將 $R_L = R_{Th}\:\&\:P_L = P_{L, Max}$ 代入公式1。

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{(R_{Th} + R_{Th})^2} \rbrace$$

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{4 {R_{Th}}^2} \rbrace$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{L}}, \: 因為 \: R_{L} = R_{Th}$$

因此,傳遞到負載的最大功率

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{L}} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}}$$

最大功率傳輸的效率

我們可以使用以下公式計算最大功率傳輸效率,$\eta_{Max}$。

$\eta_{Max} = \frac{P_{L, Max}}{P_S}$ 公式2

其中,

  • $P_{L, Max}$ 是傳遞到負載的最大功率。

  • $P_S$ 是電源產生的功率。

電源產生的功率

$$P_S = I^2 R_{Th} + I^2 R_L$$

$$\Rightarrow P_S = 2 I^2 R_{Th},\:因為\:R_{L} = R_{Th}$$

  • 將 $I = \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}}$ 代入上式。

$$P_S = 2\lgroup \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}} \rgroup ^2 R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = 2\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4 {R_{Th}}^2} \rgroup R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = \frac{{V_{Th}}^2}{2 R_{Th}}$$

  • 將 $P_{L, Max}$ 和 $P_S$ 的值代入公式2。

$$\eta_{Max} = \frac{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}} \rgroup}{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{2R_{Th}}\rgroup}$$

$$\Rightarrow \eta_{Max} = \frac{1}{2}$$

我們可以用百分比表示最大功率傳輸效率,如下所示:

$$\% \eta_{Max} = \eta_{Max} \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = \lgroup \frac{1}{2} \rgroup \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = 50\%$$

因此,最大功率傳輸效率為50%

示例

求可以傳遞到如下圖所示電路的負載電阻 RL最大功率

Example Maximum Power

步驟1 - 在戴維南定理章節中,我們計算了 A&B 端子左側的戴維南等效電路。我們現在可以使用此電路。它如下圖所示。

Maximum Power Circuit

這裡,戴維南電壓 $V_{Th} = \frac{200}{3}V$,戴維南電阻 $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

步驟2 - 用上述戴維南等效電路替換給定電路中 A&B 端子左側的部分電路。生成的電路圖如下圖所示。

Replace Circuit

步驟3 - 我們可以使用以下公式找到將傳遞到負載電阻 RL 的最大功率。

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

將 $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ 和 $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$ 代入上述公式。

$$P_{L, Max} = \frac{\lgroup \frac{200}{3} \rgroup ^ 2}{4 \lgroup \frac{40}{3}\rgroup } $$

$$P_{L, Max} = \frac{250}{3} W$$

因此,將傳遞到給定電路的負載電阻 RL 的最大功率為 $\mathbf {\frac{250}{3}}$ W

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