網路理論 - 網孔分析

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在網孔分析中，我們將考慮流過每個網孔的電流。因此，網孔分析也稱為網孔電流法。

支路是連線兩個節點的路徑，它包含一個電路元件。如果一個支路只屬於一個網孔，則支路電流將等於網孔電流。

如果一個支路為兩個網孔共有，則當它們方向相同時(或相反時)，支路電流將等於兩個網孔電流之和(或差)。

網孔分析步驟

使用網孔分析法求解任何電網路或電路時，請遵循以下步驟。

• 步驟1 - 確定網孔並標記網孔電流為順時針或逆時針方向。

• 步驟2 - 觀察以網孔電流表示流過每個元件的電流大小。

• 步驟3 - 為所有網孔編寫網孔方程。網孔方程是首先應用KVL，然後應用歐姆定律得到的。

• 步驟4 - 求解步驟3中獲得的網孔方程，以獲得網孔電流。

現在，我們可以使用網孔電流找到流過任何元件的電流和任何給定網路中任何元件兩端的電壓。

示例

使用網孔分析法求30 Ω電阻兩端的電壓。

步驟1 - 上述電路中有兩個網孔。網孔電流I₁和I₂被認為是順時針方向的。這些網孔電流如下圖所示。

步驟2 - 網孔電流I₁流過20 V電壓源和5 Ω電阻。同樣，網孔電流I₂流過30 Ω電阻和-80 V電壓源。但是，兩個網孔電流I₁和I₂的差值流過10 Ω電阻，因為它是由兩個網孔共有的支路。

步驟3 - 在這種情況下，由於給定電路中有兩個網孔，我們將得到兩個網孔方程。當我們寫網孔方程時，假設該特定網孔的網孔電流大於電路中所有其他網孔電流。

第一個網孔的網孔方程為

$$20 - 5I_1 -10(I_1 - I_2) = 0$$

$$\Rightarrow 20 - 15I_1 + 10I_2 = 0$$

$$\Rightarrow 10I_2 = 15I_1 - 20$$

將上述方程除以5。

$$2I_2 = 3I_1 - 4$$

將上述方程乘以2。

$4I_2 = 6I_1 - 8$ 方程1

第二個網孔的網孔方程為

$$-10(I_2 - I_1) - 30I_2 + 80 = 0$$

將上述方程除以10。

$$-(I_2 - I_1) - 3I_2 + 8 = 0$$

$$\Rightarrow -4I_2 + I_1 + 8 = 0$$

$4I_2 = I_1 + 8$ 方程2

步驟4 - 透過求解方程1和方程2來求解網孔電流I₁和I₂。

方程1和方程2的左邊項相同。因此，為了找到I₁的值，將方程1和方程2的右邊項相等。

$$6I_1 - 8 = I_1 + 8$$

$$\Rightarrow 5I_1 = 16$$

$$\Rightarrow I_1 = \frac{16}{5} A$$

將I₁的值代入方程2。

$$4I_2 = \frac{16}{5} + 8$$

$$\Rightarrow 4I_2 = \frac{56}{5}$$

$$\Rightarrow I_2 = \frac{14}{5} A$$

因此，我們得到了網孔電流I₁和I₂分別為$\mathbf{\frac{16}{5}}$ A和$\mathbf{\frac{14}{5}}$ A。

步驟5 - 流過30 Ω電阻的電流就是網孔電流I₂，等於$\frac{14}{5}$ A。現在，我們可以使用歐姆定律求解30 Ω電阻兩端的電壓。

$$V_{30 \Omega} = I_2 R$$

將I₂和R的值代入上述方程。

$$V_{30 \Omega} = \lgroup \frac{14}{5} \rgroup 30$$

$$\Rightarrow V_{30 \Omega} = 84V$$

因此，給定電路中30 Ω電阻兩端的電壓為84 V。

注1 - 從上面的例子中，我們可以得出結論，如果電路具有“m”個網孔，則我們必須求解“m”個網孔方程。這就是為什麼當網孔數量少於任何電路的主節點數（參考節點除外）時，我們可以選擇網孔分析法。

注2 - 當網孔數量等於任何電路的主節點數（參考節點除外）時，我們可以選擇節點分析法或網孔分析法。