網路理論 - 並聯諧振

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在上一章中，我們討論了串聯諧振的重要性。現在，讓我們討論RLC電路中的並聯諧振。

並聯諧振電路圖

如果諧振發生在並聯RLC電路中，則稱為並聯諧振。考慮以下並聯RLC電路，它用相量表示。

這裡，電阻、電感和電容等無源元件並聯連線。整個組合與輸入正弦電流源並聯。

在P節點處寫出節點方程。

$$- I + I_R + I_L + I_C = 0$$

$$\Rightarrow - I + \frac{V}{R} + \frac{V}{j X_L} + \frac{V}{-j X_C} = 0$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R} - \frac{jV}{X_L} + \frac{jV}{X_C}$$

$\Rightarrow I = V[\frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup]$公式 1

上述方程的形式為I = VY。

因此，並聯RLC電路的導納Y為

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

諧振時的引數和電路量

現在，讓我們逐一推導並聯RLC電路諧振時引數和電路量的值。

諧振頻率

我們知道，諧振頻率f_r是發生諧振的頻率。在並聯RLC電路中，當導納Y的虛部為零時發生諧振。即，$\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}$的值應等於零

$$\Rightarrow \frac{1}{X_C} = \frac{1}{X_L}$$

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

上述諧振條件與串聯RLC電路相同。因此，諧振頻率f_r在串聯RLC電路和並聯RLC電路中都相同。

因此，並聯RLC電路的諧振頻率f_r為

$$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

其中：

• L是電感的電感量。
• C是電容的電容。

並聯RLC電路的諧振頻率f_r僅取決於電感L和電容C。但它與電阻R無關。

導納

我們得到並聯RLC電路的導納Y為

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

將$X_L = X_C$代入上式。

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_C} \rgroup$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R} + j(0)$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R}$$

在諧振時，並聯RLC電路的導納Y等於電阻R的倒數，即$\mathbf{\mathit{Y = \frac{1}{R}}}$

每個元件上的電壓

將$\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} = 0$代入公式1

$$I = V [\frac{1}{R} + j(0)]$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

$$\Rightarrow V = IR$$

因此，在諧振時，並聯RLC電路所有元件上的電壓為V = IR。

在諧振時，並聯RLC電路的導納達到最小值。因此，在諧振時，該電路每個元件上都有最大電壓。

流過電阻的電流

流過電阻的電流為

$$I_R = \frac{V}{R}$$

將V的值代入上式。

$$I_R = \frac{IR}{R}$$

$$\Rightarrow I_R = I$$

因此，諧振時流過電阻的電流為$\mathbf{\mathit{I_R = I}}$。

流過電感的電流

流過電感的電流為

$$I_L = \frac{V}{j X_L}$$

將V的值代入上式。

$$I_L = \frac{IR}{j X_L}$$

$$\Rightarrow I_L = -j \lgroup \frac{R}{X_L} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_L = -jQI$$

因此，諧振時流過電感的電流為$I_L = -jQI$。

因此，諧振時流過電感的電流的大小為

$$|I_L| = QI$$

其中，Q是品質因數，其值為$\frac{R}{X_L}$

流過電容的電流

流過電容的電流為

$$I_C = \frac{V}{-j X_C}$$

將V的值代入上式。

$$I_C = \frac{IR}{-j X_C}$$

$$\Rightarrow I_C = j \lgroup \frac{R}{X_C} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_C = jQI$$

因此，諧振時流過電容的電流為$I_C = jQI$

因此，諧振時流過電容的電流的大小為

$$|I_C| = QI$$

其中，Q是品質因數，其值為$\frac{R}{X_C}$

注意 - 並聯諧振RLC電路稱為電流放大電路。因為流過電感和電容的電流大小等於輸入正弦電流I的Q倍。