密碼學 - RSA 密碼破解

使用小素數破解 RSA 密碼是可能的，但使用大素數則不可能。以下方面解釋了為什麼難以破解 RSA 密碼：

• 暴力破解方法將失敗，因為要排序的金鑰可能性太多。此外，這需要大量時間。
• 字典攻擊對 RSA 演算法無效，因為金鑰是數字的，不包含任何字元。
• 字元的頻率分析難以進行，因為單個加密塊表示許多字元。
• 沒有獨特的數學策略可以破解 RSA 密碼。

RSA 解密方程為：

M = C^d mod n

我們可以嘗試使用小素數破解 RSA 密碼，下面提供了執行此操作的示例程式碼：

使用 Python 破解

示例

def find_factors(n):
   factors = []
   for i in range(2, n):
      if n % i == 0:
         factors.append(i)
   return tuple(factors)

def calculate_euler_function(p, q):
   return (p - 1) * (q - 1)

def calculate_private_key(e, euler_value):
   for i in range(2, euler_value):
      if i * e % euler_value == 1:
         return i

def decrypt_message(private_key, modulus, ciphertext):
   return ciphertext ** private_key % modulus

def main():
   e = int(input("Enter value of e: "))
   n = int(input("Enter value of n: "))
   c = int(input("Enter ciphertext: "))

   factors = find_factors(n)
   euler_value = calculate_euler_function(factors[0], factors[1])

   d = calculate_private_key(e, euler_value)
   plain_text = decrypt_message(d, n, c)
   print("Decrypted plaintext: ", plain_text)

if __name__ == "__main__":
   main()

執行程式碼

• 儲存您的 Python 程式。
• 開啟終端或命令提示符。
• 導航到儲存程式碼的目錄。

透過鍵入以下內容執行指令碼：

python rsa_hacking.py

執行程式時，您必須輸入一些 e、n 和密文的值，然後您將獲得明文。

以下是上述示例的輸出：

輸入/輸出

Enter value of e: 7
Enter value of n: 143
Enter ciphertext: 7
Decrypted plaintext:  123

使用 Java 破解

因此，上述程式碼也可以用 Java 編寫。請參閱以下破解 RSA 的 Java 程式碼：

示例

import java.util.Scanner;

public class RSAHacking {
   public static int[] findFactors(int n) {
      int[] factors = new int[2];
      for (int i = 2; i < n; i++) {
         if (n % i == 0) {
            factors[0] = i;
            factors[1] = n / i;
            break;
         }
      }
      return factors;
   }

   public static int calculateEulerFunction(int p, int q) {
      return (p - 1) * (q - 1);
   }

   public static int calculatePrivateKey(int e, int eulerValue) {
      for (int i = 2; i < eulerValue; i++) {
         if ((i * e) % eulerValue == 1) {
            return i;
         }
      }
      return -1; // No private key found
   }

   public static int modPow(int base, int exponent, int modulus) {
      int result = 1;
      base = base % modulus;
      while (exponent > 0) {
         if (exponent % 2 == 1) {
            result = (result * base) % modulus;
         }
         exponent = exponent >> 1;
         base = (base * base) % modulus;
      }
      return result;
   }

   public static void main(String[] args) {
      Scanner scanner = new Scanner(System.in);

      System.out.print("Enter value of e: ");
      int e = scanner.nextInt();
      System.out.print("Enter value of n: ");
      int n = scanner.nextInt();
      System.out.print("Enter ciphertext: ");
      int c = scanner.nextInt();

      scanner.close();

      int[] factors = findFactors(n);
      int eulerValue = calculateEulerFunction(factors[0], factors[1]);

      int d = calculatePrivateKey(e, eulerValue);
      int plainText = modPow(c, d, n);
      System.out.println("Decrypted plaintext: " + plainText);
   }
}

以下是上述示例的輸出：

輸入/輸出

Enter value of e: 7
Enter value of n: 143
Enter ciphertext: 7
Decrypted plaintext: 123

破解方法

• 暴力破解 - 嘗試所有可能的金鑰，直到找到正確的金鑰。但是，RSA 金鑰非常大，使得暴力破解不切實際。
• 因數分解 - 試圖將模數 (N) 分解為素數因子以獲取私鑰。對於大素數來說，這具有挑戰性。
• 時序攻擊 - 利用加密或解密過程花費的時間變化來訪問敏感資料。
• 旁道攻擊 - 這些攻擊針對加密演算法的物理實現洩露的資訊，例如功耗或電磁輻射。
• 量子計算 - 從理論上講，量子計算機可以使用 Shor 演算法等演算法更有效地破解 RSA 加密。但是，目前尚無能夠破解 RSA 的實用量子計算機。

總結

總的來說，由於分解大整數的複雜性，破解 RSA 加密非常困難。但是，研究人員始終在開發新的策略和技術來改進加密系統並防止未來的攻擊。