星系的視速度彌散測量

暗物質的第一個直接證據來自弗裡茨·茲威基。他進行了一些觀測，首次揭示了暗物質的存在。他的觀測考慮了星系團內的整體運動。

擴充套件物體是星系團，它們被認為是束縛結構。這些星系相對於星系團中心運動，但不會飛散出去。我們觀察星系的整體運動。

假設：速度代表潛在的勢能

每個星系在星系團內都有其自身的自行運動和哈勃流分量。較小的星系較小，大部分光來自M31和銀河系，還有一些矮星系。對於我們粗略的分析，我們只能使用M31和銀河系，並評估本星系群的動力學質量。

我們和M31之間存在相對速度。這很粗略，但卻是事實。故事開始於很久以前，當時M31和銀河系彼此靠近，因為它們是星系團的成員，所以它們彼此遠離。一段時間後，它們達到最大分離距離，然後彼此靠近。

假設它們所能達到的最大分離距離為$r_{max}$。現在它們的分離距離為r。設M為銀河系和M31的總質量。我們不知道$r_{max}$何時達到。

$$\frac{GM}{r_{max}} = \:r_{max}處的勢能$$

當這些星系在某個時刻r彼此靠近時，系統的能量將為−

$$\frac{1}{2}\sigma^2 = \frac{GM}{r} = \frac{GM}{r_{max}}$$

σ是兩個星系的相對速度。M僅為摺合質量，但測試質量為1。σ是距離星系團中心r處的任何物體的速度。我們認為這個星系團處於動態平衡狀態，因為維裡定理成立。因此，星系不能以不同的速度運動。

為了理解這一點，讓我們考慮以下方程。

$$\frac{1}{2}\left ( \frac{dr}{dt} \right )^2 = \frac{GM}{r} - \frac{GM}{r_{max}}$$

$$t_{max} = \int_{0}^{r_{max}} dt = \int_{0}^{r_{max}} \frac{dr}{\sqrt{2GM}}\left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{r_{max}} \right )^2$$

$$t_{max} = \frac{\pi r_{max}^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{2GM}}$$

其中，M = 本星系群的動力學質量。從碰撞開始到結束的總時間為$2t_{max}$。因此，

$$2t_{max} = t_0 + \frac{D}{\sigma}$$

而$t_0$是宇宙的當前年齡。

如果實際$t_{max} < RHS$，那麼我們對時間有一個下限。$D/\sigma$是它們再次碰撞的時間。這裡，我們假設σ是常數。

$$t_{max} = \frac{t_0}{2} + \frac{D}{2\sigma}$$

$$r_{max} = t_{max} \times \sigma = 770K_{pc}$$

這裡，σ = 銀河系和M31之間的相對速度。

$$M_{dynamic} = 3 \times 10^{12}M_0$$

$$M_{MW}^{lum} = 3 \times 10^{10}M_0$$

$$M_{M31}^{lum} = 3 \times 10^{10}M_0$$

但在實踐中，動力學質量是透過考慮星系團內每個星系來計算的。缺失的質量就是暗物質，弗裡茨·茲威基注意到后髮座星系團中的星系運動速度過快。他在中子星被發現的次年就預測了中子星的存在，並使用帕洛瑪望遠鏡尋找超新星。

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