宇宙學 - 光度距離

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如前一章所述，到紅移為z的源的角直徑距離由以下公式給出：

$$d_\wedge (z_{gal}) = \frac{c}{1+z_{gal}}\int_{0}^{z_{gal}} \frac{1}{H(z)}dz$$

$$d_\wedge(z_{gal}) = \frac{r_c}{1+z_{gal}}$$

其中$r_c$是共動距離。

光度距離取決於宇宙學，它被定義為觀測到的通量f來自一個天體的距離。

如果已知遙遠天體的固有光度$d_L$，我們可以透過測量通量$f$來計算其光度，通量由以下公式確定：

$$d_L(z) = \sqrt{\frac{L}{4\pi f}}$$

光子能量發生紅移。

$$\frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{emi}} = \frac{a_0}{a_e}$$

其中$\lambda_{obs}, \lambda_{emi}$是觀測到的和發射的波長，$a_0, a_e$是相應的尺度因子。

$$\frac{\Delta t_{obs}}{\Delta t_{emi}} = \frac{a_0}{a_e}$$

其中$\Delta_t{obs}$是觀測到的光子時間間隔，而$\Delta_t{emi}$是發射它們的時間間隔。

$$L_{emi} = \frac{nhv_{emi}}{\Delta t_{emi}}$$

$$L_{obs} = \frac{nhv_{obs}}{\Delta t_{obs}}$$

$\Delta t_{obs}$將比$\Delta t_{emi}$花費更多時間，因為探測器應該接收所有光子。

$$L_{obs} = L_{emi}\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )^2$$

$$L_{obs} < L_{emi}$$

$$f_{obs} = \frac{L_{obs}}{4\pi d_L^2}$$

對於非膨脹宇宙，光度距離與共動距離相同。

$$d_L = r_c$$

$$\Rightarrow f_{obs} = \frac{L_{obs}}{4\pi r_c^2}$$

$$f_{obs} = \frac{L_{emi}}{4 \pi r_c^2}\left ( \frac{a_e}{a_0} \right )^2$$

$$\Rightarrow d_L = r_c\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )$$

我們正在尋找光度距離$d_L$來計算發射天體的光度$L_{emi}$：

• 解釋：如果我們知道任何星系的紅移z，我們可以找出$d_A$，並由此計算出$r_c$。這用於找出$d_L$。

• 如果$d_L ! = r_c(a_0/a_e)$，那麼我們無法從$f_{obs}$中找到Lemi。

光度距離$d_L$和角直徑距離$d_A$之間的關係。

我們知道：

$$d_A(z_{gal}) = \frac{d_L}{1+z_{gal}}\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )$$

$$d_L = (1 + z_{gal})d_A(z_{gal})\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )$$

光子發射時的尺度因子由以下公式給出：

$$a_e = \frac{1}{(1+z_{gal})}$$

當前宇宙的尺度因子為：

$$a_0 = 1$$

$$d_L = (1 + z_{gal})^2d_\wedge(z_{gal})$$

選擇哪一個，$d_L$或$d_A$？

• 對於已知大小和紅移的星系，為了計算它有多大，使用$d_A$。

• 如果存在一個給定視星等的星系，那麼要找出它有多大，使用$d_L$。

示例：如果給定兩個紅移相同的星系（z = 1），並且在天空平面上它們相隔2.3角秒，那麼這兩個星系之間的最大物理距離是多少？

為此，使用$d_A$如下：

$$d_A(z_{gal}) = \frac{c}{1+z_{gal}}\int_{0}^{z_{gal}} \frac{1}{H(z)}dz$$

其中z = 1，根據星系的宇宙學引數替換H(z)。

要點

• 光度距離取決於宇宙學。

• 如果已知遙遠天體的固有光度$d_L$，我們可以透過測量通量f來計算其光度。

• 對於非膨脹宇宙，光度距離與共動距離相同。

• 光度距離始終大於角直徑距離。