宇宙學 - 哈勃引數與密度引數

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本章將討論密度引數和哈勃引數。

哈勃引數

哈勃引數定義如下：

$$H(t) \equiv \frac{da/dt}{a}$$

它衡量比例因子變化的速度。更一般地，比例因子的演化由弗裡德曼方程決定。

$$H^2(t) \equiv \left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\wedge}{3}$$

其中，∧是宇宙常數。

對於平坦宇宙，k = 0，因此弗裡德曼方程變為：

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{\wedge}{3}$$

對於物質主導的宇宙，密度變化如下：

$$\frac{\rho_m}{\rho_{m,0}} = \left ( \frac{a_0}{a} \right )^3 \Rightarrow \rho_m = \rho_{m,0}a^{-3}$$

對於輻射主導的宇宙，密度變化如下：

$$\frac{\rho_{rad}}{\rho_{rad,0}} = \left ( \frac{a_0}{a} \right )^4 \Rightarrow \rho_{rad} = \rho_{rad,0}a^{-4}$$

目前，我們生活在一個物質主導的宇宙中。因此，考慮$\rho \equiv \rho_m$，我們得到：

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho_{m,0}a^{-3} + \frac{\wedge}{3}$$

宇宙常數和暗能量密度之間的關係如下：

$$\rho_\wedge = \frac{\wedge}{8 \pi G} \Rightarrow \wedge = 8\pi G\rho_\wedge$$

由此，我們得到：

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho_{m,0}a^{-3} + \frac{8 \pi G}{3} \rho_\wedge$$

此外，臨界密度和哈勃常數之間的關係如下：

$$\rho_{c,0} = \frac{3H_0^2}{8 \pi G} \Rightarrow \frac{8\pi G}{3} = \frac{H_0^2}{\rho_{c,0}}$$

由此，我們得到：

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{H_0^2}{\rho_{c,0}}\rho_{m,0}a^{-3} + \frac{H_0^2}{\rho_{c,0}}\rho_\wedge$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = H_0^2\Omega_{m,0}a^{-3} + H_0^2\Omega_{\wedge,0}$$

$$(\dot{a})^2 = H_0^2\Omega_{m,0}a^{-1} + H_0^2\Omega_{\wedge,0}a^2$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{H_0} \right )^2 = \Omega_{m,0}\frac{1}{a} + \Omega_{\wedge,0}a^2$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{H_0} \right )^2 = \Omega_{m,0}(1+z) + \Omega_{\wedge,0}\frac{1}{(1+z)^2}$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{H_0} \right)^2 (1+z)^2 = \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{\wedge,0}$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{H_0} \right)^2 \frac{1}{a^2} = \Omega_{m,0}(1 + z)^3 + \Omega_{\wedge,0}$$

$$\left ( \frac{H(z)}{H_0} \right )^2 = \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{\wedge,0}$$

這裡，$H(z)$是紅移相關的哈勃引數。這可以修改為包含輻射密度引數$\Omega_{rad}$和曲率密度引數$\Omega_k$。修改後的方程為：

$$\left ( \frac{H(z)}{H_0} \right )^2 = \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{rad,0}(1+z)^4+\Omega_{k,0}(1+z)^2+\Omega_{\wedge,0}$$

$$或者，\: \left ( \frac{H(z)}{H_0} \right)^2 = E(z)$$

$$或者，\: H(z) = H_0E(z)^{\frac{1}{2}}$$

其中，

$$E(z) \equiv \Omega_{m,0}(1 + z)^3 + \Omega_{rad,0}(1+z)^4 + \Omega_{k,0}(1+z)^2+\Omega_{\wedge,0}$$

這表明哈勃引數隨時間變化。

對於愛因斯坦-德西特宇宙，$\Omega_m = 1, \Omega_\wedge = 0, k = 0$。

代入這些值，我們得到：

$$H(z) = H_0(1+z)^{\frac{3}{2}}$$

這顯示了愛因斯坦-德西特宇宙中哈勃引數的時間演化。

密度引數

密度引數$\Omega$定義為實際（或觀測）密度$\rho$與臨界密度$\rho_c$之比。對於任何量$x$，對應的密度引數$\Omega_x$可以用數學表示式表示為：

$$\Omega_x = \frac{\rho_x}{\rho_c}$$

對於正在考慮的不同量，我們可以定義以下密度引數。

其中符號具有其通常的含義。

要點

• 比例因子的演化由弗裡德曼方程決定。

• H(z)是紅移相關的哈勃引數。

• 哈勃引數隨時間變化。

• 密度引數定義為實際（或觀測）密度與臨界密度之比。