弗裡德曼方程與世界模型

在本章中，我們將瞭解弗裡德曼方程是什麼，並詳細研究不同曲率常數下的世界模型。

弗裡德曼方程

該方程描述了宇宙均勻且各向同性模型中空間的膨脹。

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{2U}{mr_c^2a^2}$$

在**廣義相對論**(GR)和羅伯遜-沃爾克度規的背景下，該方程進行了修改。

使用GR方程 -

$$\frac{2U}{mr_c^2} = -kc^2$$

其中**k**是曲率常數。因此，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}$$

此外，$\rho$被替換為能量密度，其中包括物質、輻射和任何其他形式的能量。但為了表示的目的，它寫成$\rho$。

不同曲率常數下的世界模型

現在讓我們根據曲率常數的值來檢視各種可能性。

情況1：k=1，或封閉宇宙

對於膨脹宇宙，$da/dt > 0$。隨著膨脹的繼續，上述方程右側的第一項隨$a^{-3}$變化，而第二項隨$a^{-2}$變化。當這兩項相等時，宇宙停止膨脹。然後 -

$$\frac{8 \pi G}{3}\rho = \frac{kc^2}{a^2}$$

這裡，k=1，因此，

$$a = \left [ \frac{3c^2}{8 \pi G\rho} \right ]^{\frac{1}{2}}$$

這樣的宇宙是有限的，並且具有有限的體積。這被稱為封閉宇宙。

情況2：k=-1，或開放宇宙

如果**k < 0**，膨脹將永遠不會停止。在某個時刻，與第二項相比，可以忽略右側的第一項。

這裡，k = -1。因此，$da/dt ∼ c$。

在這種情況下，宇宙正在勻速膨脹。這樣的宇宙具有無限的空間和時間。這被稱為開放宇宙。

情況3：k=0，或平坦宇宙

在這種情況下，宇宙以減速膨脹。這裡，k = 0。因此，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho$$

這樣的宇宙具有無限的空間和時間。這被稱為平坦宇宙。

要點

• 弗裡德曼方程描述了宇宙均勻且各向同性模型中空間的膨脹。

• 根據不同的曲率常數值，我們可以得到封閉宇宙、開放宇宙或平坦宇宙。