宇宙學 - 角直徑距離

本章我們將瞭解角直徑距離是什麼，以及它如何幫助宇宙學研究。

對於目前的宇宙：

到目前為止，我們已經學習了兩種型別的距離：

距離作為紅移的函式

考慮一個星系，它在時間t₁輻射出一個光子，該光子在t₀被觀測者探測到。我們可以將星系的固有距離寫成：

$$l_p = \int_{t_1}^{t_0} cdt$$

設星系的紅移為z，

$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = -\frac{1}{a^2}\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$$

$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = -\frac{\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}}{a}\frac{1}{a}$$

$$\therefore \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = -\frac{H(z)}{a}$$

現在，星系在任何時間t的共動距離將是：

$$l_c = \frac{l_p}{a(t)}$$

$$l_c = \int_{t_1}^{t_0} \frac{cdt}{a(t)}$$

根據z表示為：

$$l_c = \int_{t_0}^{t_1} \frac{cdz}{H(z)}$$

有兩種方法可以找到距離，如下所示：

$$F = \frac{L}{4\pi d^2}$$

其中d是光源處的距離。

如果我們知道光源的大小，它的角寬度將告訴我們它與觀測者的距離。

$$\theta = \frac{D}{l}$$

其中l是光源的角直徑距離。

考慮一個大小為D，角大小為dθ的星系。

我們知道：

$$d\theta = \frac{D}{d_A}$$

$$\therefore D^2 = a(t)^2(r^2 d\theta^2) \quad \because dr^2 = 0; \: d\phi ^2 \approx 0$$

$$\Rightarrow D = a(t)rd\theta$$

將r改為r_c，即星系的共動距離，我們有：

$$d\theta = \frac{D}{r_ca(t)}$$

這裡，如果我們選擇t = t₀，我們將最終測量到星系的當前距離。但是D是在光子發射時測量的。因此，使用t = t₀，我們將得到星系更大的距離，因此低估了它的尺寸。因此，我們應該使用時間t₁。

$$\therefore d\theta = \frac{D}{r_ca(t_1)}$$

與之前的結果進行比較，我們得到：

$$d_\wedge = a(t_1)r_c$$

$$r_c = l_c = \frac{d_\wedge}{a(t_1)} = d_\wedge(1+z_1) \quad \because 1+z_1 = \frac{1}{a(t_1)}$$

因此，

$$d_\wedge = \frac{c}{1+z_1} \int_{0}^{z_1} \frac{dz}{H(z)}$$

d_A是物體的角直徑距離。

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