解耦時的CMB溫度

我們首先應該瞭解是什麼特徵決定了解耦。我們知道，當時的能量高得多，以至於物質只以電離粒子的形式存在。因此，在解耦和複合時期，能量必須下降才能允許氫的電離。可以進行近似計算來估計解耦時的溫度。

計算過程如下：

首先，只考慮基態氫的電離。

$$hv \approx k_BT$$

$$\therefore T \approx \frac{hv}{k_B}$$

對於基態氫的電離，hν為13.6 eV，kB為玻爾茲曼常數8.61 × 10⁻⁵ eV/K，這表明溫度為1.5 × 10⁵ 開爾文。

這實質上告訴我們，如果溫度低於1.5 × 10⁵ K，中性原子就可以開始形成。

我們知道，光子與重子的比率約為5 × 10¹⁰。因此，即使在光子數量減少的圖表尾部，仍然有足夠的光子來電離氫原子。此外，電子和質子的複合並不保證形成基態氫原子。激發態需要較低的能量進行電離。因此，應針對每種情況進行嚴格的統計分析以獲得精確的值。計算結果將溫度設定為約3000K。

為了解釋起見，我們考慮將氫激發到第一激發態的情況。能量大於ΔE的光子數量Nγ (> ΔE)與光子總數Nγ之比的通用表示式為：

$$\frac{N_\gamma(> \Delta E)}{N_\gamma} \propto e^{\frac{-\Delta E}{kT}}$$

對於將氫激發到第一激發態的情況，ΔE為10.2 eV。現在，如果我們考慮一個非常保守的數字，即至少每個重子有一個能量大於10.2 eV的光子（記住比率為5 × 10¹⁰），我們從公式3中得到溫度為4800 K（插入Nγ(> ΔE) = Np）。

這是產生第一激發態中性氫原子群的溫度。電離該狀態所需的溫度明顯較低。因此，我們得到了比1.5 × 10⁵ K更好的估計值，更接近公認值3000 K。

紅移-溫度關係

為了理解紅移和溫度之間的關係，我們採用如下所述的兩種方法。

從維恩位移定律，我們知道

$$\lambda_mT = 常數$$

為了將其與紅移聯絡起來，我們使用：

$$1+z = \frac{\lambda_0}{\lambda_e}$$

由於$λ_oT_o = λ_eT(z)$，我們得到：

$$T(z) = T_0\frac{\lambda_0}{\lambda_e} = T_0(1+z)$$

將T_o設定為當前值3K，我們可以得到給定紅移下的溫度值。

就頻率而言，我們知道：

$$v_0 = \frac{v_e}{1+z}$$

$$B_vdv = \frac{2hv^3}{c^2} \frac{dv}{e^{hv/kT}-1}$$

這告訴我們光子在能量區間內的淨能量，而hν是單個光子的能量。因此，我們可以透過Bνdν/hν獲得光子的數量。

如果$n_{νo}$代表現在，$n_{νe}$代表發射，我們得到：

$$\frac{n_{v_e}}{n_{v_0}} = (1+z)^3$$

簡化後，我們得到：

$$n_{v_0} =\frac{2v_c^2}{c^2}\frac{dv_c}{e^{hv/kT}-1}\frac{1}{(1+z)^3}=\frac{2v_0^2}{c^2}\frac{dv_c}{e^{hv/kT}-1}$$

這再次給了我們維恩位移定律，因此可以得出結論：

$$T(z) = T_0\frac{\lambda_0}{\lambda_e} = T_0(1+z)$$

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