宇宙學 - 宇宙年齡

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如前幾章所述，哈勃引數的時間演化由以下公式給出：

$$H(z) = H_0E(z)^{\frac{1}{2}}$$

其中z是紅移，E(Z)是：

$$E(z) \equiv \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega(1+z)^4 +\Omega_{k,0}(1+z)^2 + \Omega^{\wedge,0}$$

如果宇宙的膨脹是恆定的，那麼宇宙的真實年齡如下所示：

$$t_H = \frac{1}{H_0}$$

如果它是物質主導的宇宙，即愛因斯坦-德西特宇宙，那麼宇宙的真實年齡由以下公式給出：

$$t_H = \frac{2}{3H_0}$$

尺度和紅移由以下公式定義：

$$a=\frac{a_0}{1+z}$$

宇宙年齡根據宇宙學引數推導如下。

哈勃引數由以下公式給出：

$$H = \frac{\frac{da}{dt}}{a}$$

求導，我們得到：

$$da = \frac{-dz}{(1+z)^2}$$

其中a₀ = 1（尺度因子的當前值）

$$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} = \frac{-1}{(1+z)^2}$$

$$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}$$

$$H = \frac{\dot{a}}{a} = \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} \frac{1+z}{1}$$

$$\frac{\dot{a}}{a} = \frac{-1}{1+z}\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}\frac{1}{1}$$

$$H(z) = H_0E(z)^{\frac{1}{2}}$$

$$dt = \frac{-dz}{H_0E(z)^{\frac{1}{2}}(1+z)}$$

如果我們想找到宇宙在任何給定紅移‘z’下的年齡，那麼：

$$t(z) = \frac{1}{H_0}\int_{\infty}^{z_1} \frac{-1}{E(z)^{\frac{1}{2}}(1+z)}dz$$

其中k是曲率密度引數，並且：

$$E(z) \equiv \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{rad,0}(1+z)^4 + \Omega_{k,0}(1+z)^2 + \Omega_{\wedge,0}$$

要計算宇宙的當前年齡，取z₁ = 0。

$$t(z=0) = t_{age} = t_0 = \frac{1}{H_0}\int_{\infty}^{z_1} \frac{-1}{E(z)^{\frac{1}{2}}(1+z)}dz$$

對於愛因斯坦-德西特模型，即$\Omega_m = 1$，$\Omega_{rad} = 0$，$\Omega_k = 0$，$\Omega_\wedge = 0$，宇宙年齡的方程變為：

$$t_{age} = \frac{1}{H_0}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+z)^{\frac{5}{2}}}dz$$

解積分後，我們得到：

$$t_H = \frac{2}{3H_0}$$

夜空就像一臺宇宙時間機器。每當我們觀察遙遠的行星、恆星或星系時，我們看到的都是它在數小時、數百年甚至數千年前的樣子。這是因為光以有限的速度（光速）傳播，並且考慮到宇宙中的巨大距離，我們看到的不是物體現在的樣子，而是它們在發出光時的樣子。我們在地球上探測到光線與光線最初由光源發出之間的時間間隔稱為回溯時間 (t_L(z₁))。

因此，回溯時間由以下公式給出：

$$t_1(z_1) = t_0-t(z_1)$$

愛因斯坦-德西特宇宙的回溯時間為：

$$t_L(z) = \frac{2}{3H_0}\left [ 1- \frac{1}{(1+z)^{\frac{3}{2}}} \right ]$$

要點回顧

• 每當我們觀察遙遠的行星、恆星或星系時，我們看到的都是它在數小時、數百年甚至數千年前的樣子。

• 我們在地球上探測到光線與光線最初由光源發出之間的時間間隔稱為回溯時間。