宇宙學 - 物質主導宇宙

在本章中，我們將討論與物質主導宇宙相關的弗裡德曼方程的解。在宇宙學中，因為我們在大尺度上觀察一切，太陽系、星系，所有的一切都像塵埃粒子（這就是我們用肉眼看到的樣子），我們可以稱之為塵埃宇宙或僅物質宇宙。

在流體方程中，

$$\dot{\rho} = -3\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )\rho -3\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )\left ( \frac{P}{c^2} \right )$$

我們可以看到有一個壓力項。對於塵埃宇宙，P = 0，因為物質的能量密度將大於輻射壓力，並且物質沒有以相對論速度運動。

因此，流體方程將變為，

$$\dot{\rho} = -3\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )\rho$$

$$\Rightarrow \dot{\rho}a + 3\dot{a}\rho = 0$$

$$\Rightarrow \frac{1}{a^3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(a^3 \rho) = 0$$

$$\Rightarrow \rho a^3 =\: 常數$$

$$\Rightarrow \rho \propto \frac{1}{a^3}$$

這個方程中沒有反直覺的地方，因為密度應該按$a^{-3}$縮放，因為體積按$a^3$增加。

從最後一個關係，我們可以說，

$$\frac{\rho (t)}{\rho_0} = \left [ \frac{a_0}{a(t)} \right ]^3$$

對於現今的宇宙，a，等於a₀，應該為1。所以，

$$\rho(t) = \frac{\rho_0}{a^3}$$

在物質主導的平坦宇宙中，k = 0。所以，弗裡德曼方程將變為，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8 \pi G\rho}{3}$$

$$\dot{a}^2 = \frac{8\pi G \rho a^2}{3}$$

透過求解這個方程，我們將得到，

$$a \propto t^{2/3}$$

$$\frac{a(t)}{a_0} = \left ( \frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$$

$$a(t) = \left( \frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$$

這意味著宇宙將持續以減小的速率膨脹。下圖顯示了塵埃宇宙的膨脹。

ρ如何隨時間變化？

看一下下面的方程 -

$$\frac{\rho(t)}{\rho_0} = \left ( \frac{t_0}{t} \right )^2$$

我們知道比例因子隨時間變化為$t^{2/3}$。所以，

$$a(t) = \left ( \frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$$

對它求導，我們將得到，

$$\frac{(da)}{dt} = \dot{a} = \frac{2}{3} \left ( \frac{t^{-1/3}}{t_0} \right )$$

我們知道哈勃常數是，

$$H(t) = \frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3t}$$

這是愛因斯坦-德西特宇宙的方程。如果我們想計算宇宙目前的年齡，那麼，

$$t_0 = t_{年齡} = \frac{2}{3H_0}$$

在代入現今宇宙的$H_0$值後，我們將得到宇宙年齡的值為90億年。在我們自己的銀河系中，有很多球狀星團的年齡超過了這個值。

這就是關於塵埃宇宙的所有內容。現在，如果您假設宇宙是由輻射而不是物質主導的，那麼輻射能量密度將按$a^{-4}$而不是$a^{-3}$變化。我們將在下一章中詳細瞭解這一點。

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