宇宙學 - 流體方程

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本章將討論流體方程，以及它如何告訴我們宇宙密度隨時間的變化。

估計當前宇宙中的ρ_c和ρ

對於當前宇宙 -

$$\rho_c \simeq 10^{11}M_\odot M_{pc}^{-3} \simeq 10\: 氫原子 \: m^{-3}$$

我們的外太空存在著各種各樣的臨界密度。例如，對於星系際介質，ρ_c為每立方米1個氫原子，而對於分子云，則為每立方米10⁶個氫原子。

我們必須考慮適當的宇宙空間樣本才能測量ρ_c。在我們的銀河系內，ρ_c的值非常高，但我們的銀河系不能代表整個宇宙。因此，我們應該到宇宙學原理成立的太空區域，即距離≈300 Mpc。觀察300 Mpc意味著回溯10億年前，但這仍然是當前宇宙。

像SDSS這樣的巡天調查被用來確定實際的物質密度。它們選取一個5×500×5 Mpc³的體積，計算星系的數目，並加上來自這些星系的所有光線。假設1 L ≡ 1 M，即1太陽光度≡1太陽質量。

我們進行光到質量的轉換，然後嘗試根據該體積中存在的可見物質粒子來估計重子數。

例如，

$$1000L_\odot ≡ 1000M_\odot / m_p$$

其中，m_p=質子的質量。

然後我們得到大約的重子數密度Ω_b ≈ 0.025。這意味著ρ_b = ρ_c的0.25%。不同的調查結果略有不同。因此，在區域性宇宙中，可見物質的數密度遠小於臨界密度，這意味著我們生活在一個開放的宇宙中。

這些調查沒有包括質量的10倍的因子，因為這些調查考慮的是電磁輻射，而不是暗物質。給出，Ω_m = 0.3 - 0.4。仍然得出結論，我們生活在一個開放的宇宙中。

暗物質與引力相互作用。大量的暗物質可以阻止宇宙膨脹。我們還沒有確定ρ如何隨時間變化，為此我們需要另一組方程。

熱力學指出 -

$$dQ = dU + dW$$

對於一個尺寸增長的系統，dW = P dV。宇宙的膨脹被建模為絕熱的，即dQ = 0。因此，體積變化應該來自內能dU的變化。

讓我們取一定體積的宇宙，其共動半徑為單位，即r_c = 1。如果ρ是該空間體積內物質的密度，則：

$$M = \frac{4}{3} \pi a^3r_c^3 \rho$$

$$U = \frac{4}{3}\pi a^3\rho c^2$$

其中，U是能量密度。讓我們找出隨著宇宙膨脹，內能隨時間的變化。

$$\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} t} = 4 \pi a^2 \rho c^2 \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} + \frac{4}{3}\pi a^3 c^2\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t}$$

類似地，體積隨時間的變化由下式給出：

$$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = 4\pi a^2 \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$$

代入dU = −P dV。我們得到：

$$4\pi a^2(c^2 \rho +P)\dot{a}+\frac{4}{3}\pi a^3c^2\dot{\rho} = 0$$

$$\dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}\left ( \rho + \frac{P}{c^2} \right ) = 0$$

這被稱為流體方程。它告訴我們宇宙的密度如何隨時間變化。

隨著宇宙膨脹，壓力下降。在每一時刻壓力都在變化，但在所考慮的體積中兩點之間沒有壓力差，因此壓力梯度為零。只有相對論性物質才會產生壓力，物質是無壓力的。

弗裡德曼方程與流體方程一起模擬宇宙。

要點

• 暗物質與引力相互作用。大量的暗物質可以阻止膨脹。

• 流體方程告訴我們宇宙的密度如何隨時間變化。

• 弗裡德曼方程與流體方程一起模擬宇宙。

• 只有相對論性物質才會產生壓力，物質是無壓力的。