MATLAB - 拉普拉斯變換

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拉普拉斯變換是一種強大的數學技術，用於求解微分方程和分析工程、物理學和其他領域的系統。它以法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯的名字命名。

簡單來說，拉普拉斯變換將時間函式轉換為復變數函式，通常用 s 表示。這種變換將微分方程轉換為代數方程，使它們更容易求解。

拉普拉斯變換的一個主要優點是它能夠處理具有不連續性或複雜行為的訊號和系統。它廣泛應用於控制理論、訊號處理、通訊系統以及科學和工程的許多其他領域。

在 MATLAB 中，拉普拉斯變換通常用於分析和求解微分方程，尤其是在控制系統和訊號處理領域。

MATLAB 提供了 laplace 函式，可用於計算給定函式的拉普拉斯變換。

語法

F = laplace(f)
F = laplace(f,transVar)
F = laplace(f,var,transVar)

語法解釋

F = laplace(f) − 計算函式 f 的拉普拉斯變換。預設情況下，該函式被假定為時間 (t) 的函式，拉普拉斯變換是復變數 (s) 的函式。

F = laplace(f,transVar) − 使用不同的變數 transVar（而不是預設變數 s）計算函式 f 的拉普拉斯變換。

F = laplace(f,var,transVar) − 計算函式 f 的拉普拉斯變換，其中函式依賴於變數 var，拉普拉斯變換相對於變數 transVar，而不是預設變數 t 和 s。

使用 laplace() 函式的拉普拉斯工作示例

讓我們看幾個例子，說明如何在 MATLAB 中使用 laplace 函式計算拉普拉斯變換。

示例 1：計算函式 f(t) = e-at 的拉普拉斯變換

假設我們有一個簡單的函式 f(t) = e-at，其中 a 是一個常數。我們希望使用 MATLAB 中的 laplace 函式計算其拉普拉斯變換。

syms t s a
f = exp(-a*t);
F = laplace(f);
disp(F); 

在上面的示例中，我們有 −

• 我們首先使用 syms 定義符號變數 t、s 和 a。
• 然後，我們將函式 f(t) 定義為 exp(-a*t)，它表示 e-at
• 接下來，我們僅使用函式 f 作為引數使用 laplace 函式。由於我們沒有指定自變數或變換變數，因此 MATLAB 假定自變數的預設值為 t，變換變數的預設值為 s。
• 最後，我們使用 disp 顯示函式 f 的拉普拉斯變換。

執行程式碼後，我們得到如下所示的輸出 −

>> syms t s a
f = exp(-a*t);
F = laplace(f);
disp(F); 

1/(a + s)
 
>> 

示例 2：計算 1/sqrt(x) 的拉普拉斯變換

我們的程式碼是 −

syms x
f = 1/sqrt(x);
F = laplace(f);
disp(F);

在示例中，我們有 −

• syms x 將變數 x 宣告為符號變數，表示 x 可以表示任何數學表示式。
• f = 1/sqrt(x); 使用符號變數 x 定義函式 f(x) = 1/sqrt(x)。
• F = laplace(f); 計算 f 相對於預設變數 t 的拉普拉斯變換，並將結果賦值給 F。
• disp(F); 將 f(x) 的拉普拉斯變換顯示為拉普拉斯變數 s 的函式。

執行程式碼後，我們得到的輸出如下 −

>> syms x
f = 1/sqrt(x);
F = laplace(f);
disp(F);

pi^(1/2)/s^(1/2)
 
>> 

示例 3：計算具有引數的正弦函式的拉普拉斯變換

我們的程式碼如下 −

syms t s
syms omega real
f = sin(omega*t);
f_subs = subs(f, t, s/omega); % Substitute t with s/omega
F = laplace(f_subs, s);
disp(F);

在示例中，

• syms t s − 這行程式碼將變數 t 和 s 宣告為符號，這意味著它們可以表示數學表示式。syms omega real: 這行程式碼將變數 omega 宣告為符號實常數。這樣做是為了確保在執行計算時將 omega 視為實數。
• f = sin(omega*t) − 這行程式碼定義函式 f(t) = sin(omega*t)。這裡，omega 是一個控制正弦波頻率的引數。
• f_subs = subs(f, t, s/omega) − 這行程式碼對函式 f 執行替換。它用 s/omega 替換變數 t 的每次出現，有效地將函式轉換為 f(s/omega)。
• F = laplace(f_subs, s) − 這行程式碼計算替換後的函式 f_subs 相對於變數 s 的拉普拉斯變換。由於 s 是 MATLAB 中拉普拉斯變換的預設變數，因此我們只需要將 s 指定為 laplace 函式的第二個引數。
• disp(F) − 這行程式碼顯示拉普拉斯變換的結果，它是 s 的函式。結果將以 omega 表示，反映原始函式中的頻率引數。

執行後，輸出為 −

>> syms t s
syms omega real
f = sin(omega*t);
f_subs = subs(f, t, s/omega); % Substitute t with s/omega
F = laplace(f_subs, s);
disp(F);
1/(s^2 + 1)
 
>> 

示例 4：計算指數-餘弦函式的拉普拉斯變換

我們的程式碼如下 −

syms t s
f = exp(-2*t)*cos(3*t);
F = laplace(f, t, s/2);
disp(F);

使用的函式為 f(t) = e-2t cos(3t)。我們計算其相對於 t 的拉普拉斯變換，並使用 s/2 作為拉普拉斯變數。

在示例中，我們有 −

• syms t s − 這行程式碼將變數 t 和 s 宣告為符號，表示它們可以表示數學表示式。
• f = exp(-2*t)*cos(3*t) − 這行程式碼定義函式 f(t) = e^{-2t} \cos(3t)。
• F = laplace(f, t, s/2) − 這行程式碼計算函式 f 相對於變數 t 的拉普拉斯變換，並使用拉普拉斯變數 s/2 而不是預設變數 s。
• disp(F) − 這行程式碼顯示拉普拉斯變換的結果，它是 s/2 的函式。結果將以 s 表示，反映拉普拉斯變換中使用的變換變數。

在 matlab 命令視窗中執行後，我們得到的輸出為 −

>> syms t s
f = exp(-2*t)*cos(3*t);
F = laplace(f, t, s/2);
disp(F);

(s/2 + 2)/((s/2 + 2)^2 + 9)
 
>>