MATLAB - 積分

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積分處理兩種本質上不同的問題。

  • 第一種型別，給出函式的導數，我們需要找到該函式。因此，我們基本上反轉了微分的過程。這個反向過程被稱為反微分，或求原函式，或求**不定積分**。

  • 第二種問題涉及到將非常大量的非常小的量相加，然後取這些量的大小接近於零時的極限，而項數趨於無窮大。這個過程導致了**定積分**的定義。

定積分用於求面積、體積、重心、慣性矩、力做的功，以及許多其他應用。

使用 MATLAB 求不定積分

根據定義，如果函式 f(x) 的導數是 f'(x)，那麼我們說 f'(x) 關於 x 的不定積分是 f(x)。例如，由於 x2 關於 x 的導數是 2x，我們可以說 2x 的不定積分是 x2。

用符號表示為：

f'(x2) = 2x，因此，

∫ 2xdx = x2。

不定積分不是唯一的，因為對於任意常數 c 的值，x2 + c 的導數也將是 2x。

這用符號表示為：

∫ 2xdx = x2 + c.

其中，c 稱為“任意常數”。

MATLAB 提供了一個**int**命令來計算表示式的積分。為了推匯出函式不定積分的表示式，我們寫：

int(f);

例如，從我們之前的例子：

syms x 
int(2*x)

MATLAB 執行上述語句並返回以下結果：

ans =
   x^2

示例 1

在這個例子中，讓我們找到一些常用表示式的積分。建立一個指令碼檔案，並在其中輸入以下程式碼：

syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

執行檔案後，它將顯示以下結果：

ans =
   piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
   -cos(n*t)/n
   ans =
   (a*sin(pi*t))/pi
   ans =
   a^x/log(a)

示例 2

建立一個指令碼檔案，並在其中輸入以下程式碼：

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

請注意，**pretty**函式以更易讀的格式返回表示式。

執行檔案後，它將顯示以下結果：

ans =
   sin(x)
 
ans =
   exp(x)
 
ans =
   x*(log(x) - 1)
 
ans =
   log(x)
 
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4 
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 
      3125            625             125              5 
   
        3             5 
 
   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
   ------------- + ----------- 
         25              5
 
ans =
-1/(4*x^4)
 
ans =
tan(x)
        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)
 
ans = 
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
 
      6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

使用 MATLAB 求定積分

根據定義，定積分基本上是和的極限。我們使用定積分來求面積，例如曲線和 x 軸之間的面積以及兩條曲線之間的面積。定積分也可以用於其他情況，其中所需的數量可以表示為和的極限。

**int**函式可以透過傳遞要計算積分的極限來用於定積分。

計算

Definite Integral

我們寫：

int(x, a, b)

例如，要計算Example的值，我們寫：

int(x, 4, 9)

MATLAB 執行上述語句並返回以下結果：

ans =
   65/2

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

Area: 

   32.500

可以使用 Octave 提供的 quad() 函式給出另一種解決方案，如下所示：

pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

Area: 
   32.500

示例 1

讓我們計算 x 軸、曲線 y = x3−2x+5 和座標 x = 1 和 x = 2 之間包圍的面積。

所需面積由下式給出：

Area Calculation

建立一個指令碼檔案，並輸入以下程式碼：

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

執行檔案後，它將顯示以下結果：

a =
23/4
Area: 
   5.7500

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

Area: 

   5.7500

可以使用 Octave 提供的 quad() 函式給出另一種解決方案，如下所示：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

Area: 
   5.7500

示例 2

求曲線 f(x) = x2 cos(x) 在 −4 ≤ x ≤ 9 範圍內的面積。

建立一個指令碼檔案，並編寫以下程式碼：

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

執行檔案後，MATLAB 將繪製圖形：

Definite Integral

輸出如下：

a = 
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
 
Area: 
   0.3326

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
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