MATLAB - 微分

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MATLAB 提供了 **diff** 命令用於計算符號導數。最簡單的形式是，將要微分的函式作為引數傳遞給 diff 命令。

例如，讓我們計算函式 f(t) = 3t² + 2t^-2 的導數。

示例

建立一個指令碼檔案，並在其中鍵入以下程式碼：

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

編譯並執行上述程式碼後，會產生以下結果：

ans =
6*t - 4/t^3

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

微分基本規則的驗證

讓我們簡要說明各種函式微分方程或規則，並驗證這些規則。為此，我們將用 f'(x) 表示一階導數，用 f"(x) 表示二階導數。

以下是微分規則：

規則 1

對於任何函式 f 和 g，以及任何實數 a 和 b，函式：

**h(x) = af(x) + bg(x)** 關於 x 的導數由下式給出：

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

規則 2

**和** 和 **差** 規則指出，如果 f 和 g 是兩個函式，f' 和 g' 分別是它們的導數，則：

(**f + g)' = f' + g'**

(f - g)' = f' - g'

規則 3

**積** 規則指出，如果 f 和 g 是兩個函式，f' 和 g' 分別是它們的導數，則：

(f.g)' = f'.g + g'.f

規則 4

**商** 規則指出，如果 f 和 g 是兩個函式，f' 和 g' 分別是它們的導數，則：

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g²

規則 5

**多項式** 或基本冪規則指出，如果 **y = f(x) = xⁿ**，則 **f' = n. x^(n-1)**

此規則的一個直接結果是任何常數的導數為零，即如果 **y = k**，任何常數，則

f' = 0

規則 6

**鏈** 規則指出，函式的函式 **h(x) = f(g(x))** 關於 x 的導數為：

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

示例

建立一個指令碼檔案，並在其中鍵入以下程式碼：

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

執行該檔案時，MATLAB 會顯示以下結果：

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

指數函式、對數函式和三角函式的導數

下表提供了常用的指數函式、對數函式和三角函式的導數：

示例

建立一個指令碼檔案，並在其中鍵入以下程式碼：

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

執行該檔案時，MATLAB 會顯示以下結果：

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

計算高階導數

要計算函式 f 的高階導數，我們使用語法 **diff(f,n)**。

讓我們計算函式 y = f(x) = x .e^-3x 的二階導數。

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB 執行程式碼並返回以下結果：

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

示例

在這個例子中，讓我們解決一個問題。給定函式 **y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x)**。我們將必須找出方程 **f" + f = -5cos(2x)** 是否成立。

建立一個指令碼檔案，並在其中鍵入以下程式碼：

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

執行該檔案時，它會顯示以下結果：

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

求曲線的最大值和最小值

如果我們正在搜尋圖形的區域性最大值和最小值，我們基本上是在尋找函式圖形在特定區域性或特定範圍內的符號變數值中的最高點或最低點。

對於函式 y = f(x)，圖形上斜率為零的點稱為 **駐點**。換句話說，駐點是 f'(x) = 0 的地方。

要找到函式的駐點，我們需要對函式進行微分，並將導數設定為零並求解該方程。

示例

讓我們找到函式 f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 17 的駐點。

執行以下步驟：

首先讓我們輸入函式並繪製其圖形。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

MATLAB 執行程式碼並返回以下圖形：

以下是上述示例的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

我們的目標是在圖形上找到一些區域性最大值和最小值，因此讓我們找到圖形上區間 [-2, 2] 的區域性最大值和最小值。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB 執行程式碼並返回以下圖形：

以下是上述示例的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

接下來，讓我們計算導數。

g = diff(y)

MATLAB 執行程式碼並返回以下結果：

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

讓我們求解導數函式 g，以獲得它變為零的值。

s = solve(g)

MATLAB 執行程式碼並返回以下結果：

s =
   1
   -2

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave 執行程式碼並返回以下結果：

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

**這與我們的圖一致。因此，讓我們在臨界點 x = 1, -2 處評估函式 f。** 我們可以使用 **subs** 命令在符號函式中替換一個值。

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB 執行程式碼並返回以下結果：

ans =
   10
ans =
   37

以下是上述計算的 Octave 等效程式碼：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

因此，函式 f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 17 在區間 [-2,2] 中的最小值和最大值分別為 10 和 37。

求解微分方程

MATLAB 提供了 **dsolve** 命令用於符號求解微分方程。

用於查詢單個方程解的 **dsolve** 命令的最基本形式為

dsolve('eqn') 

其中 eqn 是用於輸入方程的文字字串。

它返回一個符號解，其中包含一組 MATLAB 標記為 C1、C2 等的任意常數。

您還可以指定問題的初始條件和邊界條件，作為方程後的逗號分隔列表，如下所示：

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)  

為了使用 dsolve 命令，**導數用 D 表示**。例如，方程 f'(t) = -2*f + cost(t) 輸入為：

'Df = -2*f + cos(t)'

高階導數用 D 後跟導數的階數來表示。

例如，方程 f"(x) + 2f'(x) = 5sin3x 應輸入為：

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

讓我們舉一個一階微分方程的簡單例子：y' = 5y。

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB 執行程式碼並返回以下結果：

s =
   C2*exp(5*t)

讓我們再來看一個二階微分方程的例子，如下：y" - y = 0，y(0) = -1，y'(0) = 2。

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB 執行程式碼並返回以下結果：

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2