Z 變換性質

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Z 變換具有以下性質：

線性性質

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

並且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

那麼線性性質表明：

$a\, x (n) + b\, y (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} a\, X(Z) + b\, Y(Z)$

時移性質

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那麼時移性質表明：

$x (n-m) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} z^{-m} X(Z)$

乘以指數序列性質

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那麼乘以指數序列性質表明：

$a^n\, . x(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z/a)$

時間反轉性質

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那麼時間反轉性質表明：

$x (-n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(1/Z)$

Z 域微分或乘以 n 性質

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那麼乘以 n 或 Z 域微分性質表明：

$ n^k x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} [-1]^k z^k{d^k X(Z) \over dZ^K} $

卷積性質

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

並且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

那麼卷積性質表明：

$x(n) * y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$

相關性質

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

並且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

那麼相關性質表明：

$x(n) \otimes y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z^{-1})$

初始值定理和終值定理

Z 變換的初始值定理和終值定理適用於因果訊號。

初始值定理

對於因果訊號 x(n)，初始值定理表明：

$ x (0) = \lim_{z \to \infty }⁡X(z) $

這用於在不進行反 Z 變換的情況下求解訊號的初始值。

終值定理

對於因果訊號 x(n)，終值定理表明：

$ x ( \infty ) = \lim_{z \to 1} (z-1) ⁡X(z) $

這用於在不進行反 Z 變換的情況下求解訊號的終值。

Z 變換的收斂域 (ROC)

Z 變換收斂的 z 值變化範圍稱為 Z 變換的收斂域。

Z 變換收斂域的性質

• Z 變換的收斂域在 z 平面上用圓表示。

• 收斂域不包含任何極點。

• 如果 x(n) 是有限持續時間的因果序列或右半平面序列，則收斂域是整個 z 平面，除了 z = 0。

• 如果 x(n) 是有限持續時間的反因果序列或左半平面序列，則收斂域是整個 z 平面，除了 z = ∞。

• 如果 x(n) 是無限持續時間的因果序列，則收斂域是半徑為 a 的圓的外部，即 |z| > a。

• 如果 x(n) 是無限持續時間的反因果序列，則收斂域是半徑為 a 的圓的內部，即 |z| < a。

• 如果 x(n) 是有限持續時間的雙邊序列，則收斂域是整個 z 平面，除了 z = 0 和 z = ∞。

收斂域的概念可以透過以下示例來解釋：

例 1： 求 $a^n u[n] + a^{-n}u[-n-1]$ 的 Z 變換和收斂域。

$Z.T[a^n u[n]] + Z.T[a^{-n}u[-n-1]] = {Z \over Z-a} + {Z \over Z {-1 \over a}}$

$$ ROC: |z| \gt a \quad\quad ROC: |z| \lt {1 \over a} $$

ROC 的圖有兩個條件，a > 1 和 a < 1，因為你不知道 a。

在這種情況下，沒有組合收斂域。

此處，ROC 的組合是 $a \lt |z| \lt {1 \over a}$

因此，對於這個問題，當 a < 1 時，Z 變換是可能的。

因果性和穩定性

離散時間 LTI 系統的因果性條件如下：

當離散時間 LTI 系統滿足以下條件時，它是因果的：

• 收斂域位於最外極點的外部。

• 在傳遞函式 H[Z] 中，分子的階數不能大於分母的階數。

離散時間 LTI 系統的穩定性條件

當離散時間 LTI 系統滿足以下條件時，它是穩定的：

• 其系統函式 H[Z] 包括單位圓 |z|=1。

• 傳遞函式的所有極點都位於單位圓 |z|=1 的內部。

基本訊號的 Z 變換