傅立葉變換

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傅立葉級數的主要缺點是，它僅適用於週期訊號。一些自然產生的訊號，例如非週期或非週期訊號，我們無法使用傅立葉級數來表示。為了克服這一缺點，傅立葉開發了一個數學模型，用於在時域（或空間域）和頻域之間轉換訊號，反之亦然，這被稱為“傅立葉變換”。

傅立葉變換在物理學和工程學中有很多應用，例如線性時不變系統的分析、雷達、天文學、訊號處理等。

從傅立葉級數推導傅立葉變換

考慮一個週期為T的週期訊號f(t)。f(t)的復傅立葉級數表示為

$$ f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} $$

$$ \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j {2\pi \over T_0} kt} ... ... (1) $$

令${1 \over T_0} = \Delta f$，則公式1變為

$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j2\pi k \Delta ft} ... ... (2) $

但你知道

$a_k = {1\over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt$

代入公式2。

(2) $ \Rightarrow f(t) = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} {1 \over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt\, e^{j2\pi k \Delta ft} $

令$t_0={T\over2}$

$ = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f $

當$T \to \infty$時，$\Delta f$接近微分$df$，$k \Delta f$變為連續變數$f$，求和變為積分

$$ f(t) = lim_{T \to \infty} ⁡\left\{ \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f \right\} $$

$$ = \int_{-\infty}^{\infty} [ \int_{-\infty}^{\infty}\,f(t) e^{-j2\pi ft} dt] e^{j2\pi ft} df $$

$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, F[\omega] e^{j\omega t} d \omega$$

$\text{其中}\,F[\omega] = [ \int_{-\infty}^{\infty}\, f(t) e^{-j2 \pi ft} dt]$

基本函式的傅立葉變換

讓我們瞭解一下基本函式的傅立葉變換

門函式的傅立葉變換

$$F[\omega] = AT Sa({\omega T \over 2})$$

衝激函式的傅立葉變換

$FT [\omega(t) ] = [\int_{- \infty}^{\infty} \delta (t) e^{-j\omega t} dt] $

$\quad \quad \quad \quad = e^{-j\omega t}\, |\, t = 0 $

$\quad \quad \quad \quad = e^{0} = 1 $

$\quad \therefore \delta (\omega) = 1 $

單位階躍函式的傅立葉變換

$U(\omega) = \pi \delta (\omega)+1/j\omega$

指數函式的傅立葉變換

$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+jω)$

$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+j\omega )$

$ e^{-a\,|\,t\,|} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2a \over {a^2+ω^2}}$

$ e^{j \omega_0 t} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} \delta (\omega - \omega_0)$

符號函式的傅立葉變換

$ sgn(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2 \over j \omega }$

傅立葉變換存在的條件

只有當函式滿足狄利克雷條件時，任何函式f(t)才能用傅立葉變換表示。即

• 函式f(t)具有有限個最大值和最小值。

• 在給定的時間間隔內，訊號f(t)必須具有有限個不連續點。

• 它在給定的時間間隔內必須是絕對可積的，即

  $ \int_{-\infty}^{\infty}\, |\, f(t) | \, dt < \infty $

離散時間傅立葉變換 (DTFT)

離散時間傅立葉變換（DTFT）或離散時間序列x[n]的傅立葉變換是根據復指數序列$e^{j\omega n}$表示該序列。

DTFT序列x[n]由下式給出

$$ X(\omega) = \Sigma_{n= -\infty}^{\infty} x(n)e^{-j \omega n} \,\, ...\,... (1) $$

這裡，X(ω)是實頻率變數ω的複函式，可以寫成

$$ X(\omega) = X_{re}(\omega) + jX_{img}(\omega) $$

其中X_re(ω)，X_img(ω)分別是X(ω)的實部和虛部。

$$ X_{re}(\omega) = |\, X(\omega) | \cos\theta(\omega) $$

$$ X_{img}(\omega) = |\, X(\omega) | \sin\theta(\omega) $$

$$ |X(\omega) |^2 = |\, X_{re} (\omega) |^2+ |\,X_{im} (\omega) |^2 $$

並且X(ω)也可以表示為$ X(\omega) = |\,X(\omega) | e^{j\theta (ω)} $

其中$\theta(\omega) = arg{X(\omega) } $

$|\,X(\omega) |, \theta(\omega)$稱為X(ω)的幅度譜和相位譜。

離散時間傅立葉逆變換

$$ x(n) = { 1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\omega) e^{j \omega n} d\omega \,\, ...\,... (2)$$

收斂條件

公式1中的無限級數可能收斂也可能不收斂。x(n)是絕對可和的。

$$ \text{當}\,\, \sum_{n=-\infty}^{\infty} |\, x(n)|\, < \infty $$

絕對可和序列總是具有有限能量，但有限能量序列不一定是絕對可和的。