收斂域 (ROC)

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使拉普拉斯變換收斂的σ的取值範圍稱為收斂域。

拉普拉斯變換收斂域的性質

• ROC在s平面包含平行於jω軸的條帶。

  

• 如果x(t)是絕對可積的且是有限持續時間的，則ROC是整個s平面。

• 如果x(t)是右側序列，則ROC：Re{s} > σ_o。

• 如果x(t)是左側序列，則ROC：Re{s} < σ_o。

• 如果x(t)是雙側序列，則ROC是兩個區域的組合。

可以使用以下示例來解釋ROC

示例1：求x(t) = e^-atu(t)的拉普拉斯變換和ROC

L.T[x(t)] = L.T[e^-atu(t)] = 1/(s+a)

Re{s} > -a

ROC: Re{s} > -a

示例2：求x(t) = e^atu(-t)的拉普拉斯變換和ROC

L.T[x(t)] = L.T[e^atu(-t)] = 1/(s-a)

Re{s} < a

ROC: Re{s} < a

示例3：求x(t) = e^-atu(t) + e^atu(-t)的拉普拉斯變換和ROC

L.T[x(t)] = L.T[e^-atu(t) + e^atu(-t)] = 1/(s+a) + 1/(s-a)

對於1/(s+a)，Re{s} > -a

對於1/(s-a)，Re{s} < a

參考上圖，組合區域位於-a到a之間。因此，

ROC: -a < Re{s} < a

因果性和穩定性

• 為了使系統具有因果性，其傳遞函式的所有極點必須位於s平面的右半平面。

  

• 當其傳遞函式的所有極點都位於s平面的左半平面時，系統被稱為穩定。

  

• 當其傳遞函式至少有一個極點位於s平面的右半平面時，系統被稱為不穩定。

  

• 當其傳遞函式至少有一個極點位於s平面的jω軸上時，系統被稱為臨界穩定。

  

基本函式的ROC