系統分類

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系統可分為以下幾類：

• 線性系統和非線性系統
• 時變系統和時不變系統
• 線性時變系統和線性時不變系統
• 靜態系統和動態系統
• 因果系統和非因果系統
• 可逆系統和不可逆系統
• 穩定系統和不穩定系統

線性系統和非線性系統

當系統滿足疊加原理和齊次性原理時，則稱該系統為線性系統。考慮兩個系統，其輸入分別為x₁(t), x₂(t)，輸出分別為y₁(t), y₂(t)。則根據疊加原理和齊次性原理：

T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = a₁ T[x₁(t)] + a₂ T[x₂(t)]

$\therefore, $ T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = a₁ y₁(t) + a₂ y₂(t)

從上述表示式可以看出，整個系統的響應等於各個子系統的響應之和。

示例

y(t) = x²(t)

解答

y₁ (t) = T[x₁(t)] = x₁²(t)

y₂ (t) = T[x₂(t)] = x₂²(t)

T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = [ a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)]²

這並不等於 a₁ y₁(t) + a₂ y₂(t)。因此，該系統為非線性系統。

時變系統和時不變系統

如果系統的輸入和輸出特性隨時間變化，則稱該系統為時變系統。否則，該系統被認為是時不變系統。

時不變系統的條件是：

y (n , t) = y(n-t)

時變系統的條件是：

y (n , t) $\neq$ y(n-t)

其中 y (n , t) = T[x(n-t)] = 輸入變化

y (n-t) = 輸出變化

示例

y(n) = x(-n)

y(n, t) = T[x(n-t)] = x(-n-t)

y(n-t) = x(-(n-t)) = x(-n + t)

$\therefore$ y(n, t) ≠ y(n-t)。因此，該系統是時變系統。

線性時變(LTV)系統和線性時不變(LTI)系統

如果一個系統既是線性的又是時變的，則稱其為線性時變(LTV)系統。

如果一個系統既是線性的又是時不變的，則稱其為線性時不變(LTI)系統。

靜態系統和動態系統

靜態系統是無記憶的，而動態系統是有記憶的。

示例1： y(t) = 2 x(t)

對於當前值 t=0，系統輸出為 y(0) = 2x(0)。這裡，輸出僅依賴於當前輸入。因此，該系統是無記憶的或靜態的。

示例2： y(t) = 2 x(t) + 3 x(t-3)

對於當前值 t=0，系統輸出為 y(0) = 2x(0) + 3x(-3)。

這裡 x(-3) 是當前輸入的過去值，系統需要記憶才能得到這個輸出。因此，該系統是一個動態系統。

因果系統和非因果系統

如果一個系統的輸出取決於當前和過去的輸入，而不取決於未來的輸入，則稱該系統為因果系統。

對於非因果系統，輸出也取決於未來的輸入。

示例1： y(n) = 2 x(t) + 3 x(t-3)

對於當前值 t=1，系統輸出為 y(1) = 2x(1) + 3x(-2)。

這裡，系統輸出僅取決於當前和過去的輸入。因此，該系統是因果系統。

示例2： y(n) = 2 x(t) + 3 x(t-3) + 6x(t + 3)

對於當前值 t=1，系統輸出為 y(1) = 2x(1) + 3x(-2) + 6x(4)。這裡，系統輸出取決於未來的輸入。因此，該系統是非因果系統。

可逆系統和不可逆系統

如果系統的輸入出現在輸出端，則稱該系統為可逆系統。

Y(S) = X(S) H1(S) H2(S)

= X(S) H1(S) · $1 \over ( H1(S) )$       因為 H2(S) = 1/( H1(S) )

$\therefore, $ Y(S) = X(S)

$\to$ y(t) = x(t)

因此，該系統是可逆的。

如果 y(t) $\neq$ x(t)，則稱該系統為不可逆系統。

穩定系統和不穩定系統

只有當有界輸入對應有界輸出時，系統才是穩定的。對於有界輸入，如果系統的輸出是無界的，則稱其為不穩定的。

注意：對於有界訊號，幅度是有限的。

示例1： y (t) = x²(t)

如果輸入為 u(t)（單位階躍有界輸入），則輸出 y(t) = u2(t) = u(t) = 有界輸出。

因此，該系統是穩定的。

示例2： y (t) = $\int x(t)\, dt$

如果輸入為 u (t)（單位階躍有界輸入），則輸出 y(t) = $\int u(t)\, dt$ = 斜坡訊號（無界，因為斜坡的幅度不是有限的，當 t $\to$ 無窮大時，它趨於無窮大）。

因此，該系統是不穩定的。