傅立葉級數性質

---

---

這些是傅立葉級數的性質

線性性質

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$ 和 $ y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{yn}$

那麼線性性質表明

$ \text{a}\, x(t) + \text{b}\, y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} \text{a}\, f_{xn} + \text{b}\, f_{yn}$

時間移位性質

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那麼時間移位性質表明

$x(t-t_0) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} e^{-jn\omega_0 t_0}f_{xn} $

頻率移位性質

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那麼頻率移位性質表明

$e^{jn\omega_0 t_0} . x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{x(n-n_0)} $

時間反轉性質

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那麼時間反轉性質表明

如果 $ x(-t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{-xn}$

時間尺度變換性質

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那麼時間尺度變換性質表明

如果 $ x(at) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

時間尺度變換性質將頻率分量從 $\omega_0$ 變為 $a\omega_0$。

微分和積分性質

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那麼微分性質表明

如果 $ {dx(t)\over dt} \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} jn\omega_0 . f_{xn}$

和積分性質表明

如果 $ \int x(t) dt \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} {f_{xn} \over jn\omega_0} $

乘法和卷積性質

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$ 和 $ y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{yn}$

那麼乘法性質表明

$ x(t) . y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} T f_{xn} * f_{yn}$

和卷積性質表明

$ x(t) * y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} T f_{xn} . f_{yn}$

共軛和共軛對稱性質

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那麼共軛性質表明

$ x*(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f*_{xn}$

實值時間訊號的共軛對稱性質表明

$$f*_{xn} = f_{-xn}$$

和虛值時間訊號的共軛對稱性質表明

$$f*_{xn} = -f_{-xn} $$