傅立葉變換性質

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以下是傅立葉變換的性質

線性性質

$\text{如果}\,\,x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

$ \text{&} \,\, y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} Y(\omega) $

則線性性質表明：

$a x (t) + b y (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} a X(\omega) + b Y(\omega) $

時移性質

$\text{如果}\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X (\omega)$

則時移性質表明：

$x (t-t_0) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} e^{-j\omega t_0 } X(\omega)$

頻移性質

$\text{如果}\,\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

則頻移性質表明：

$e^{j\omega_0 t} . x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega - \omega_0)$

時間反轉性質

$ \text{如果}\,\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

則時間反轉性質表明：

$ x (-t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(-\omega)$

時間尺度變換性質

$ \text{如果}\,\, x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

則時間尺度變換性質表明：

$ x (at) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over |\,a\,|} X \left( { \omega \over a} \right)$

微分和積分性質

$ If \,\, x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

則微分性質表明：

$ {dx (t) \over dt} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} j\omega . X(\omega)$

$ {d^n x (t) \over dt^n } \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} (j \omega)^n . X(\omega) $

積分性質表明：

$ \int x(t) \, dt \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over j \omega} X(\omega) $

$ \iiint ... \int x(t)\, dt \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} { 1 \over (j\omega)^n} X(\omega) $

乘法和卷積性質

$ \text{如果} \,\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

$ \text{&} \,\,y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} Y(\omega) $

則乘法性質表明：

$ x(t). y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)*Y(\omega) $

卷積性質表明：

$ x(t) * y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over 2 \pi} X(\omega).Y(\omega) $