訊號分析

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向量與訊號的類比

向量和訊號之間存在完美的類比。

向量

向量包含大小和方向。向量的名稱用粗體表示，其大小用普通字體表示。

例如：V是一個大小為V的向量。考慮兩個向量V₁和V₂，如下面的圖所示。設V₁沿V₂的分量為C₁₂V₂。可以透過從V₁的末端向V₂作垂線得到一個向量V₁沿向量V₂的分量，如圖所示

向量V₁可以用向量V₂表示

V₁= C₁₂V₂ + V_e

其中Ve是誤差向量。

但這並不是用V₂表示向量V₁的唯一方法。其他的可能性是

對於較大的分量值，誤差訊號最小。如果C₁₂=0，則這兩個訊號被稱為正交。

兩個向量的點積

V₁ . V₂ = V₁.V₂ cosθ

θ = V1和V2之間的角度

V₁ . V₂ =V₂.V₁

V₁沿V₂的分量 = V₁ Cos θ = $V1.V2 \over V2$

從圖中，V₁沿V₂的分量 = C ₁₂ V₂

$$V_1.V_2 \over V_2 = C_12\,V_2$$

$$ \Rightarrow C_{12} = {V_1.V_2 \over V_2}$$

訊號

正交的概念可以應用於訊號。讓我們考慮兩個訊號f₁(t)和f₂(t)。與向量類似，可以用f₂(t)近似表示f₁(t)，如下所示

f₁(t) = C₁₂ f₂(t) + f_e(t) 對於(t₁ < t < t₂)

$ \Rightarrow $ f_e(t) = f₁(t) – C₁₂ f₂(t)

一種可能的最小化誤差的方法是在區間t₁到t₂上進行積分。

$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)] dt$$

$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_1(t) - C_{12}f_2(t)]dt $$

但是，此步驟也不能將誤差降低到明顯的程度。這可以透過取誤差函式的平方來糾正。

$\varepsilon = {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2 dt$

$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - C_{12}f_2]^2 dt $

其中ε是誤差訊號的均方值。要計算使誤差最小的C₁₂的值，需要計算${d\varepsilon \over dC_{12} } = 0 $

$\Rightarrow {d \over dC_{12} } [ {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_1 (t) - C_{12} f_2 (t)]^2 dt]= 0 $

$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [ {d \over dC_{12} } f_{1}^2(t) - {d \over dC_{12} } 2f_1(t)C_{12}f_2(t)+ {d \over dC_{12} } f_{2}^{2} (t) C_{12}^2 ] dt =0 $

不包含C12項的項的導數為零。

$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} - 2f_1(t) f_2(t) dt + 2C_{12}\int_{t_1}^{t_2}[f_{2}^{2} (t)]dt = 0 $

如果 $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t)dt }} $ 分量為零，則這兩個訊號被稱為正交。

令C₁₂ = 0得到正交條件。

0 = $ {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t)dt }} $

$$ \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t)f_2(t) dt = 0 $$

正交向量空間

一組完整的正交向量稱為正交向量空間。考慮一個三維向量空間，如下所示

考慮一點(X₁, Y₁, Z₁)處的向量A。考慮三個單位向量(V_X, V_Y, V_Z)，分別沿X、Y、Z軸方向。由於這些單位向量是相互正交的，因此滿足

$$V_X. V_X= V_Y. V_Y= V_Z. V_Z = 1 $$

$$V_X. V_Y= V_Y. V_Z= V_Z. V_X = 0 $$

可以將上述條件寫成

$$V_a . V_b = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \quad a = b \\ 0 & \quad a \neq b \end{array} \right. $$

向量A可以用其分量和單位向量表示為

$A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z................(1) $

這個三維空間中的任何向量都可以僅用這三個單位向量表示。

如果考慮n維空間，則該空間中的任何向量A都可以表示為

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z+...+ N_1V_N.....(2) $

由於任何向量A的單位向量的大小為1

A沿x軸的分量 = A.V_X

A沿Y軸的分量 = A.V_Y

A沿Z軸的分量 = A.V_Z

類似地，對於n維空間，A沿某個G軸的分量

$= A.VG...............(3)$

將公式2代入公式3。

$\Rightarrow CG= (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z +...+G_1 V_G...+ N_1V_N)V_G$

$= X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G +...+ G_1V_G V_G...+ N_1V_N V_G$

$= G_1 \,\,\,\,\, \text{因為 } V_G V_G=1$

$如果 V_G V_G \neq 1 \,\,\text{即} V_G V_G= k$

$AV_G = G_1V_G V_G= G_1K$

$G_1 = {(AV_G) \over K}$

正交訊號空間

讓我們考慮一組n個在區間t₁到t₂上相互正交的函式x₁(t)，x₂(t)... x_n(t)。由於這些函式彼此正交，因此任何兩個訊號x_j(t)，x_k(t)必須滿足正交條件。即

$$\int_{t_1}^{t_2} x_j(t)x_k(t)dt = 0 \,\,\, \text{其中}\, j \neq k$$

$$\text{令} \int_{t_1}^{t_2}x_{k}^{2}(t)dt = k_k $$

令一個函式f(t)，可以透過沿相互正交的訊號新增分量來用這個正交訊號空間進行近似，即

$\,\,\,f(t) = C_1x_1(t) + C_2x_2(t) + ... + C_nx_n(t) + f_e(t) $

$\quad\quad=\Sigma_{r=1}^{n} C_rx_r (t) $

$\,\,\,f(t) = f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r (t) $

均方誤差 $ \varepsilon = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f_e(t)]^2 dt$

$$ = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f[t] - \sum_{r=1}^{n} C_rx_r(t) ]^2 dt $$

可以透過以下方式找到使均方誤差最小化的分量

$$ {d\varepsilon \over dC_1} = {d\varepsilon \over dC_2} = ... = {d\varepsilon \over dC_k} = 0 $$

讓我們考慮${d\varepsilon \over dC_k} = 0 $

$${d \over dC_k}[ {1 \over t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} [ f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt] = 0 $$

所有不包含C_k的項都為零。即在求和中，r=k項保留，所有其他項都為零。

$$\int_{t_1}^{t_2} - 2 f(t)x_k(t)dt + 2C_k \int_{t_1}^{t_2} [x_k^2 (t)] dt=0 $$

$$\Rightarrow C_k = {{\int_{t_1}^{t_2}f(t)x_k(t)dt} \over {int_{t_1}^{t_2} x_k^2 (t)dt}} $$

$$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = C_kK_k $$

均方誤差

誤差函式f_e(t)的平方平均值稱為均方誤差。用ε（epsilon）表示。

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$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2dt$

$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt $

$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f_e^2 (t) ]dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t) dt - 2 \Sigma_{r=1}^{n} C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(t)dt$

知道 $C_{r}^{2} \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t)dt = C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(d)dt = C_r^2 K_r $

$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r - 2 \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r] $

$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt - \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r ] $

$\, \therefore \varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + (C_1^2 K_1 + C_2^2 K_2 + ... + C_n^2 K_n)] $

上述公式用於評估均方誤差。

封閉且完整的正交函式集

讓我們考慮一組n個在區間t₁到t₂上相互正交的函式x₁(t)，x₂(t)...x_n(t)。當不存在滿足條件$\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = 0 $的函式f(t)時，這稱為封閉且完整的集合。

如果此函式滿足方程$\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt=0 \,\, \text{對於}\, k = 1,2,..$，則f(t)被稱為與正交集中的每個函式正交。如果沒有f(t)，則此集合是不完整的。當包含f(t)時，它成為封閉且完整的集合。

可以透過沿相互正交的訊號新增分量來用此正交集近似f(t)，即

$$f(t) = C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t) + f_e(t) $$

如果無限級數$C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t)$收斂到f(t)，則均方誤差為零。

複函式中的正交性

如果f₁(t)和f₂(t)是兩個複函式，則f₁(t)可以用f₂(t)表示為

$f_1(t) = C_{12}f_2(t) \,\,\,\,\,\,\,\,$ ..誤差可忽略不計

其中 $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2^*(t)dt} \over { \int_{t_1}^{t_2} |f_2(t)|^2 dt}} $

其中 $f_2^* (t)$ = f₂(t)的共軛複數。

如果f₁(t)和f₂(t)正交，則C₁₂ = 0

$$ {\int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^*(t) dt \over \int_{t_1}^{t_2} |f_2 (t) |^2 dt} = 0 $$

$$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^* (dt) = 0$$

上述公式表示複函式中的正交條件。