Z 變換 (ZT)

連續時間 LTI 系統的分析可以使用 z 變換進行。它是一種強大的數學工具，可以將微分方程轉換為代數方程。

離散時間訊號 x(n) 的雙邊 (雙側) z 變換表示為

$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} $

離散時間訊號 x(n) 的單邊 (單側) z 變換表示為

$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = 0}^{\infty} x(n)z^{-n} $

對於某些離散時間傅立葉變換 (DTFT) 不存在的訊號，Z 變換可能存在。

Z 變換和反 Z 變換的概念

離散時間訊號 x(n) 的 Z 變換可以用 X(Z) 表示，其定義為

$X(Z) = \Sigma_{n=- \infty }^ {\infty} x(n)z^{-n} \,...\,...\,(1)$

如果 $Z = re^{j\omega}$，則公式 1 變為

$X(re^{j\omega}) = \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[re^{j \omega} ]^{-n}$

$= \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[r^{-n} ] e^{-j \omega n}$

$X(re^{j \omega} ) = X(Z) = F.T[x(n)r^{-n}] \,...\,...\,(2) $

上述公式表示傅立葉變換和 Z 變換之間的關係。

$ X(Z) |_{z=e^{j \omega}} = F.T [x(n)]. $

反 Z 變換

$X(re^{j \omega}) = F.T[x(n)r^{-n}] $

$x(n)r^{-n} = F.T^{-1}[X(re^{j \omega}]$

$x(n) = r^n\,F.T^{-1}[X(re^{j \omega} )]$

$= r^n {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )e^{j \omega n} d \omega $

$= {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )[re^{j \omega} ]^n d \omega \,...\,...\,(3)$

令 $re^{j \omega} = z$。

$dz = jre^{j \omega} d \omega = jz d \omega$

$d \omega = {1 \over j }z^{-1}dz$

代入公式 3。

$ 3\, \to \, x(n) = {1 \over 2\pi} \int\, X(z)z^n {1 \over j } z^{-1} dz = {1 \over 2\pi j} \int \,X(z) z^{n-1} dz $