取樣定理

定理：連續時間訊號可以由其樣本表示，當取樣頻率 f_s 大於或等於訊息訊號最高頻率分量的兩倍時，可以恢復原始訊號。即

$$ f_s \geq 2 f_m. $$

證明：考慮一個連續時間訊號 x(t)。x(t) 的頻譜限於 f_m Hz，即 x(t) 的頻譜在 |ω|＞ω_m 時為零。

輸入訊號 x(t) 的取樣可以透過將 x(t) 與週期為 T_s 的衝激串 δ(t) 相乘來獲得。乘法器的輸出是一個離散訊號，稱為取樣訊號，在下圖中用 y(t) 表示。

在這裡，您可以觀察到取樣訊號採用衝激的週期。取樣過程可以用以下數學表示式解釋

$ \text{取樣訊號}\, y(t) = x(t) \cdot \delta(t) \,\,...\,...(1) $

δ(t) 的三角傅立葉級數表示為

$ \delta(t)= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos⁡ n\omega_s t + b_n \sin⁡ n\omega_s t )\,\,...\,...(2) $

其中 $ a_0 = \frac{1}{T_s} \int_{-T/2}^{T/2} \delta (t)dt = \frac{1}{T_s} \delta(0) = \frac{1}{T_s} $

$ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{-T/2}^{T/2} \delta (t) \cos n\omega_s t \, dt = \frac{2}{T_s} \delta (0) \cos n \omega_s 0 = \frac{2}{T_s} $

$b_n = \frac{2}{T_s} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) \sin⁡ n\omega_s t\, dt = \frac{2}{T_s} \delta(0) \sin⁡ n\omega_s 0 = 0 $

將以上值代入公式 2。

$\therefore\, \delta(t)= \frac{1}{T_s} + \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{2}{T_s} \cos ⁡ n\omega_s t+0)$

將 δ(t) 代入公式 1。

$\to y(t) = x(t) \cdot \delta(t) $

$ = x(t) [\frac{1}{T_s} + \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{T_s} \cos n\omega_s t) ] $

$ = \frac{1}{T_s} [x(t) + 2 \sum_{n=1}^{\infty} (\cos n\omega_s t) x(t) ] $

$ y(t) = \frac{1}{T_s} [x(t) + 2\cos \omega_s t \cdot x(t) + 2 \cos 2\omega_s t \cdot x(t) + 2 \cos 3\omega_s t \cdot x(t) \,...\, ...\,] $

對兩邊進行傅立葉變換。

$Y(\omega) = \frac{1}{T_s} [X(\omega)+X(\omega-\omega_s )+X(\omega+\omega_s )+X(\omega-2\omega_s )+X(\omega+2\omega_s )+ \,...] $

$\therefore\,\, Y(\omega) = \frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega - n\omega_s )\quad\quad where \,\,n= 0,\pm1,\pm2,... $

為了重建 x(t)，必須從取樣訊號頻譜 Y(ω) 中恢復輸入訊號頻譜 X(ω)，當 Y(ω) 的週期之間沒有重疊時，這是可能的。

以下圖表給出了不同條件下采樣頻率頻譜的可能性。

混疊效應

欠取樣情況下重疊區域表示混疊效應，可以透過以下方法消除：

• 考慮 f_s > 2f_m

• 使用抗混疊濾波器。