拉普拉斯變換性質

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拉普拉斯變換的性質如下：

線性性質

如果$\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

& $\, y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} Y(s)$

則線性性質表明：

$a x (t) + b y (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} a X(s) + b Y(s)$

時移性質

如果$\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

則時移性質表明：

$x (t-t_0) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} e^{-st_0 } X(s)$

頻移性質

如果$\, x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

則頻移性質表明：

$e^{s_0 t} . x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s-s_0)$

時間反轉性質

如果$\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

則時間反轉性質表明：

$x (-t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(-s)$

時間尺度變換性質

如果$\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

則時間尺度變換性質表明：

$x (at) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1\over |a|} X({s\over a})$

微分與積分性質

如果$\, x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

則微分性質表明：

$ {dx (t) \over dt} \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} s. X(s) - s. X(0) $

${d^n x (t) \over dt^n} \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} (s)^n . X(s)$

積分性質表明：

$\int x (t) dt \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over s} X(s)$

$\iiint \,...\, \int x (t) dt \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over s^n} X(s)$

乘積與卷積性質

如果$\,x(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

並且 $ y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} Y(s)$

則乘積性質表明：

$x(t). y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over 2 \pi j} X(s)*Y(s)$

卷積性質表明：

$x(t) * y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s).Y(s)$