傅立葉級數

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讓-巴普蒂斯特·約瑟夫·傅立葉，一位法國數學家和物理學家；出生於法國歐塞爾。他創立了傅立葉級數、傅立葉變換及其在熱傳遞和振動問題中的應用。傅立葉級數、傅立葉變換和傅立葉定律都是以他的名字命名的。

傅立葉級數

為了表示任何週期訊號x(t)，傅立葉發展了一個稱為傅立葉級數的表示式。它是一個由正弦和餘弦或指數函式的無窮級數表示的表示式。傅立葉級數使用正交條件。

連續時間週期訊號的傅立葉級數表示

如果訊號滿足條件x(t) = x(t + T) 或 x(n) = x(n + N)，則稱該訊號為週期訊號。

其中T = 基波週期，

ω₀= 基波頻率 = 2π/T

有兩個基本的週期訊號

$x(t) = \cos\omega_0t$ (正弦波) &

$x(t) = e^{j\omega_0 t} $ (復指數)

這兩個訊號的週期為 $T= 2\pi/\omega_0$。

一組諧波相關的復指數可以表示為{$\phi_k (t)$}

$${ \phi_k (t)} = \{ e^{jk\omega_0t}\} = \{ e^{jk({2\pi \over T})t}\} \text{其中} \,k = 0, \pm 1, \pm 2, ..., n \,\,\,.....(1) $$

所有這些訊號的週期都是T

根據正交訊號空間，用n個相互正交的函式逼近函式x(t)的表示式為：

$$x(t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} $$

其中 $a_k$= 傅立葉係數 = 逼近係數。

該訊號x(t)也是週期為T的週期訊號。

公式2表示週期訊號x(t)的傅立葉級數表示。

k = 0 項為常數項。

k = ±1 項具有基波頻率 $\omega_0$，稱為一次諧波。

k = ±2 項具有基波頻率 $2\omega_0$，稱為二次諧波，以此類推…

k = ±n 項具有基波頻率 $n\omega_0$，稱為n次諧波。

推導傅立葉係數

我們知道 $x(t) = \sum_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} ...... (1)$

兩邊乘以 $e^{-jn\omega_0 t}$。則

$$ x(t)e^{-jn\omega_0 t} = \sum_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} . e^{-jn\omega_0 t} $$

兩邊積分。

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} . e^{-jn\omega_0 t}dt $$

$$ \quad \quad \quad \quad \,\, = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j(k-n) \omega_0 t} . dt$$

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. \,\, ..... (2)$$

根據尤拉公式，

$$ \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. = \int_{0}^{T} \cos(k-n)\omega_0 t dt + j \int_{0}^{T} \sin(k-n)\omega_0t\,dt$$

$$ \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. = \left\{ \begin{array}{l l} T & \quad k = n \\ 0 & \quad k \neq n \end{array} \right. $$

因此，在公式2中，除了k = n時，積分對所有k的值都為零。將k = n代入公式2。

$$\Rightarrow \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt = a_n T $$

$$\Rightarrow a_n = {1 \over T} \int_{0}^{T} x(t)e^{-jn\omega_0 t} dt $$

將n替換為k。

$$\Rightarrow a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} x(t)e^{-jk\omega_0 t} dt$$

$$\therefore x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} $$

$$\text{其中} a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} x(t)e^{-jk\omega_0 t} dt $$