希爾伯特變換

訊號 x(t) 的希爾伯特變換定義為，其中訊號所有分量的相位角偏移 $\pm \text{90}^o $ 的變換。

x(t) 的希爾伯特變換用 $\hat{x}(t)$ 表示，它由下式給出

$$ \hat{x}(t) = { 1 \over \pi } \int_{-\infty}^{\infty} {x(k) \over t-k } dk $$

逆希爾伯特變換由下式給出

$$ \hat{x}(t) = { 1 \over \pi } \int_{-\infty}^{\infty} {x(k) \over t-k } dk $$

x(t), $\hat{x}$(t) 稱為希爾伯特變換對。

希爾伯特變換的性質

訊號 x(t) 及其希爾伯特變換 $\hat{x}$(t) 具有

• 相同的幅度譜。

• 相同自相關函式。

• x(t) 和 $\hat{x}$(t) 的能量譜密度相同。

• x(t) 和 $\hat{x}$(t) 正交。

• $\hat{x}$(t) 的希爾伯特變換為 -x(t)

• 如果存在傅立葉變換，則能量和功率訊號的希爾伯特變換也存在。