磁場中儲存的能量

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在上一章中，我們討論了在機電能量轉換裝置中，電氣系統和機械系統之間存在一個耦合介質。在大多數實際裝置中，磁場用作耦合介質。因此，機電能量轉換裝置包括一個電磁系統。因此，儲存在耦合介質中的能量以磁場的形式存在。我們可以計算如下所述的機電能量轉換系統的磁場中儲存的能量。

考慮一個線圈，該線圈具有N匝導線繞在磁芯上，如圖 1 所示。該線圈由v伏電壓源供電。

透過應用基爾霍夫電壓定律，施加到線圈上的電壓由下式給出：

$$\mathrm{\mathit{V\:=\:e\:+\:iR}\cdot \cdot \cdot (1)}$$

其中：

• e 是由於電磁感應而線上圈中感應出的電動勢。

• R 是線圈電路的電阻。

• $\mathit{i}$ 是流過線圈的電流。

施加到電磁系統的瞬時功率由下式給出：

$$\mathrm{\mathit{p}\:=\:\mathit{Vi\:=\:i\left ( e+iR \right )}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{p}\:=\:\mathit{ie+ i^{\mathrm{2}}}\mathit{R}\cdot \cdot \cdot (2)}$$

現在，假設在時間t = 0 時，將直流電壓施加到電路，並且在t = t₁ 秒結束時，電路中的電流已達到I 安培。然後，在此時間間隔內，輸入系統的能量由下式給出：

$$\mathrm{\mathit{W}_{in}\:=\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\:\mathit{p\:dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{W}_{in}\:=\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\:\mathit{ie\:dt}\:+\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\mathit{i^{\mathrm{2}}R\:dt}\cdot \cdot \cdot (3)}$$

從公式 3 可以看出，總輸入能量由兩部分組成：

• 第一部分是儲存在磁場中的能量。

• 第二部分是由於線圈的電阻而產生的能量損耗。

因此，儲存在系統磁場中的能量為：

$$\mathrm{\mathit{W}_{\mathit{f}}\:=\:\int_{0}^{t_{\mathrm{1}}}\:\mathit{ie\:dt}\:\cdot \cdot \cdot (4)}$$

根據法拉第電磁感應定律，我們有：

$$\mathrm{\mathit{e}\:=\:\frac{\mathit{d\psi }}{\mathit{dt}}\:=\:\frac{\mathit{d}}{\mathit{dt}}\left ( \mathit{N\phi } \right )\:=\:\mathit{N}\frac{\mathit{d\phi }}{\mathit{dt}}\cdot \cdot \cdot (5)}$$

其中，$\psi$ 是磁通鏈，等於$\mathit{\psi \:=\:N\phi }。

$$\mathrm{\therefore \mathit{W_{f}}\:=\:\int_{0}^{\mathit{t_{\mathrm{1}}}}\frac{\mathit{d\psi }}{\mathit{dt}}\mathit{i\:dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{W_{f}}\:=\:\int_{0}^{\psi_{\mathrm{1}}}\mathit{i\:d\psi }\cdot \cdot \cdot (6)}$$

因此，公式 (6) 表明儲存在磁場中的能量等於電磁系統（即磁化曲線）的 ($\psi -i$) 曲線與磁通鏈 ($\psi$) 軸之間的面積，如圖 2 所示。

對於線性電磁系統，儲存在磁場中的能量由下式給出：

$$\mathrm{\mathit{W_{f}}\:=\:\int_{0}^{\mathit{\psi _{\mathrm{1}}}}\mathit{id\psi }\:=\:\int_{0}^{\psi_{\mathrm{1}} }\frac{\psi }{\mathit{L}}\mathit{d\psi }}$$

其中，$\psi\:=\:\mathit{N\phi }\:=\:\mathit{Li}$，L 是線圈的自感。

$$\mathrm{\therefore \mathit{W_{f}}\:=\:\frac{\psi ^{\mathrm{2}}}{2\mathit{L}}\:=\:\frac{1}{2}\mathit{Li^{\mathrm{2}}}\cdot \cdot \cdot (7)}$$

餘能的概念

餘能是一個用於推導電磁系統中產生的轉矩表示式的虛擬概念。因此，餘能對系統沒有物理意義。

基本上，餘能是 $\psi -i$ 曲線與電流軸之間的面積，表示為 $\mathit{W_{f}^{'}}$，如上圖 2 所示。

在數學上，餘能由下式給出：

$$\mathrm{\mathit{W_{f}^{'}}\:=\:\int_{0}^{i}\psi \mathit{di}\:=\:\int_{0}^{i}\mathit{Li\:di}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{W_{f}^{'}}\:=\:\frac{1}{2}\mathit{Li^{\mathrm{2}}}\cdot \cdot \cdot (8)}$$

從公式 (7) 和 (8) 可以看出，對於線性磁系統，儲存在磁場中的能量和餘能相等。