變壓器效率

變壓器的輸出功率與輸入功率之比稱為變壓器效率。變壓器效率用希臘字母Eta (η)表示。

$$ \mathrm{效率, η = \frac{輸出功率}{輸入功率}} $$

從這個定義來看，似乎我們可以透過直接載入變壓器並測量輸入功率和輸出功率來確定變壓器的效率。然而，這種效率確定方法存在以下缺點：

實際上，變壓器的效率非常高，輸入和輸出瓦特計的微小誤差（例如1%）可能會導致荒謬的結果。因此，這種方法可能會得出效率超過100%的結果。
在這種方法中，變壓器處於載入狀態，因此會浪費相當大的功率。因此，對於大型變壓器來說，這種方法在經濟上不可行。
很難找到能夠吸收所有輸出功率的負載。
這種方法不會提供有關變壓器損耗的任何資訊。

因此，由於這些限制，直接載入法很少用於確定變壓器的效率。實際上，我們使用開路測試和短路測試來找出變壓器的效率。

對於實際變壓器，輸入功率由下式給出：

$$ \mathrm{輸入功率 = 輸出功率 + 損耗} $$

因此，變壓器效率也可以用以下表達式計算：

$$ \mathrm{η = \frac{輸出功率}{輸出功率 + 損耗}} $$

$$ \mathrm{⇒ η = \frac{VA × 功率因數}{(VA × 功率因數) + 損耗}} $$

其中：

$$ \mathrm{輸出功率 = VA × 功率因數} $$

並且，損耗可以透過變壓器測試確定。

透過變壓器測試獲得的效率

當我們進行變壓器測試時，會得到以下結果：

來自開路測試：

$$ \mathrm{滿載鐵損 = P_i} $$

來自短路測試：

$$ \mathrm{滿載銅損 = P_c} $$

因此，變壓器滿載時的總損耗為

$$ \mathrm{總FL損耗 = P_i + P_c} $$

現在，我們能夠在任何功率因數下確定變壓器的滿載效率，而無需實際載入變壓器。

$$ \mathrm{η_{FL} = \frac{(VA)_{FL} × 功率因數}{[(VA)_{FL} × 功率因數] + P_i + P_c}} $$

此外，變壓器在任何等於 *x × 滿載* 的負載下的效率。其中，x 是負載分數。在這種情況下，與給定負載對應的總損耗為：

$$ \mathrm{(總損耗)_x = P_i + x^2P_c} $$

這是因為鐵損 (P_i) 是恆定損耗，因此在所有負載下都保持不變，而銅損與負載電流的平方成正比。

$$ \mathrm{∴ η_x = \frac{x × (VA)_{FL} × 功率因數}{[x × (VA)_{FL} × 功率因數] + P_i + x^2P_c}} $$

最大效率的條件

對於給定的變壓器，我們有：

$$ \mathrm{輸出功率 = V_2I_2cosφ_2} $$

設變壓器參考次級側，則R_o2是變壓器的總電阻。總銅損由下式給出：

$$ \mathrm{P_c = I_2^2R_{o2}} $$

因此，變壓器效率由下式給出：

$$ \mathrm{η = \frac{V_2I_2cosφ_2}{V_2I_2cosφ_2 + P_i + I_2^2R_{o2}}} $$

重新排列表達式，我們得到：

$$ \mathrm{η = \frac{V_2cosφ_2}{V_2cosφ_2 + (\frac{P_i}{I_2}) + I_2R_{o2}} = \frac{V_2cosφ_2}{D} ··· (1)} $$

實際上，次級電壓 V_2 近似恆定。因此，對於給定功率因數的負載，變壓器效率取決於負載電流 (I_2)。從方程 (1) 可以看出，分子是常數，為了使效率最大化，分母 (D) 應該最小，即

$$ \mathrm{\frac{d(D)}{dI_2} = 0} $$

$$ \mathrm{⇒ \frac{d}{dI_2}[V_2cosφ_2 + (\frac{P_i}{I_2}) + I_2R_{o2}] = 0} $$

$$ \mathrm{⇒ 0 - (\frac{P_i}{I_2^2}) + R_{o2} = 0} $$

$$ \mathrm{⇒ P_i = I_2^2R_{o2}} $$

$$ \mathrm{⇒ 鐵損 = 銅損} $$

因此，對於給定的功率因數，當恆定的鐵損等於可變的銅損時，變壓器的效率最大。

任何負載下的最大效率由下式給出：

$$ \mathrm{η_{max} = \frac{x × (VA)_{FL} × 功率因數}{[x × (VA)_{FL} × 功率因數] + 2P_i}} $$

此外，對應於變壓器最大效率的負載電流 (I_2) 為：

$$ \mathrm{I_2 = \sqrt{\frac{P_i}{R_{o2}}}} $$

數值示例

在一個100 kVA的變壓器中，鐵損為450 W，滿載銅損為900 W。求變壓器的滿載效率和最大效率，負載功率因數為0.8滯後。

解答

給定資料：

滿載VA = 100 kVA = 100 × 1000 VA
鐵損，P_i = 450 W
銅損，P_c = 900 W
cosφ_2 = 0.8

變壓器滿載效率：

$$ \mathrm{總損耗 = 450 + 900 = 1350 W} $$

$$ \mathrm{η_{FL} = \frac{(VA)_{FL} × 功率因數}{[(VA)_{FL} × 功率因數] + 總損耗}} $$

$$ \mathrm{⇒ η_{FL} = \frac{100 × 1000 × 0.8}{(100 × 1000 × 0.8) + 1350} = \frac{80000}{81350} = 0.9834} $$

$$ \mathrm{∴ η_{FL} = 0.9834 × 100\% = 98.34\%} $$

變壓器的最大效率：

對於最大效率：

$$ \mathrm{鐵損 = 銅損} $$

$$ \mathrm{∴ η_{max} = \frac{(VA)_{FL} × 功率因數}{[(VA)_{FL} × 功率因數] + 2P_i}} $$

$$ \mathrm{⇒ η_{max} = \frac{100 × 1000 × 0.8}{(100 × 1000 × 0.8) + (2 × 450)} = 0.9888} $$

$$ \mathrm{∴ η_{max} = 0.9888 × 100\% = 98.88\%} $$

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