變壓器的電動勢方程

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對於電力變壓器，電動勢方程是一個數學表示式，用於求解變壓器繞組中感應電動勢的大小。

考慮圖中所示的變壓器。如果N₁和N₂是初級和次級繞組的匝數。當我們在初級繞組上施加頻率為f的交流電壓V₁時，初級繞組會在鐵心中產生交變磁通$\phi$。

如果我們假設正弦交流電壓，則磁通可以表示為：

$$\mathrm{\mathit{\phi }\:=\:\phi _{m}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega t}\:\cdot \cdot \cdot (1)}$$

現在，根據電磁感應原理，初級繞組中感應電動勢e₁的瞬時值由下式給出：

$$\mathrm{\mathit{e_{\mathrm{1}}}\:=\:\mathit{-N_{\mathrm{1}}}\frac{\mathit{d\phi }}{\mathit{dt}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{e_{\mathrm{1}}}\:=\:\mathit{-N_{\mathrm{1}}}\frac{\mathit{d}}{\mathit{dt}}\left ( \phi _{m}\: \mathrm{sin}\:\mathit{\omega t}\right )}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{e_{\mathrm{1}}}\:=\:\mathit{-N_{\mathrm{1}}}\:\mathit{\omega \phi \:cos\:\omega t}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{e_{\mathrm{1}}}\:=\:-\mathrm{2}\mathit{\pi fN_{\mathrm{1}}}\:\mathit{\phi_{m} \:cos\:\omega t}}$$

其中：

$$\mathrm{\mathit{\omega \:=\:\mathrm{2}\pi f}}$$

$$\mathrm{\because -\mathit{cos\:\omega t}\:=\:\mathrm{sin}\left ( \mathit{\omega t-\mathrm{90^{\circ}}} \right )}$$

因此：

$$\mathrm{\mathit{e_{\mathrm{1}}}\:=\:\mathrm{2}\mathit{\phi fN_{\mathrm{1}}}\:\mathit{\phi_{m}\:\mathrm{sin}\left ( \mathit{\omega t-\mathrm{90^{\circ}}} \right )}}\:\cdot \cdot \cdot (2)$$

方程 (2) 可以寫成：

$$\mathrm{\mathit{e_{\mathrm{1}}}\:=\:\mathit{E_{m_{\mathrm{1}}}}\mathrm{sin}\left ( \mathit{\omega t-\mathrm{90^{\circ}}} \right )\:\cdot \cdot \cdot (3)}$$

其中，$\mathit{E_{m_{\mathrm{1}}}}$ 是感應電動勢 $\mathit{e_{\mathrm{1}}}$ 的最大值。

$$\mathrm{\mathit{E_{\mathrm{m1}}}\:=\:\mathrm{2}\mathit{\pi fN_{\mathrm{1}}}\:\mathit{\phi_{m}}}$$

現在，對於正弦電源，初級繞組電動勢的有效值 $\mathit{E_{\mathrm{1}}}$ 由下式給出：

$$\mathrm{\mathit{E_{\mathrm{1}}}\:=\:\frac{\mathit{E_{m\mathrm{1}}}}{\sqrt{2}}\:=\:\frac{2\mathit{\pi fN_{\mathrm{1}}}\phi_{m}}{\sqrt{2}}}$$

$$\mathrm{\therefore\mathit{E_{\mathrm{1}}}\:=\:4.44\:\mathit{f\phi _{m}N_{\mathrm{1}}}\:\cdot \cdot \cdot (4)}$$

類似地，次級繞組電動勢的有效值 E₂ 為：

$$\mathrm{\mathit{E_{\mathrm{2}}}\:=\:4.44\:\mathit{f\phi _{m}N_{\mathrm{2}}}\:\cdot \cdot \cdot (5)}$$

一般地：

$$\mathrm{\mathit{E}\:=\:4.44\:\mathit{f\phi _{m}N}\:\cdot \cdot \cdot (6)}$$

方程 (6) 稱為變壓器的電動勢方程。

對於給定的變壓器，如果我們將電動勢方程除以電源頻率，我們得到：

$$\mathrm{\frac{\mathit{E}}{\mathit{f}}\:=\:4.44\:\phi _{m}\mathit{N}\:=\:\mathrm{Constant}}$$

這意味著每單位頻率的感應電動勢是恆定的，但它在給定變壓器的初級和次級側並不相同。

此外，根據方程 (4) 和 (5)，我們有：

$$\mathrm{\frac{\mathit{E_{\mathrm{1}}}}{\mathit{E_{\mathrm{2}}}}\:=\:\frac{\mathit{N_{\mathrm{1}}}}{\mathit{N_{\mathrm{2}}}}\:or\:\frac{\mathit{E_{\mathrm{1}}}}{\mathit{N_{\mathrm{1}}}}\:=\:\frac{\mathit{E_{\mathrm{2}}}}{\mathit{N_{\mathrm{2}}}}}$$

因此，在變壓器中，初級繞組每匝的感應電動勢等於次級繞組每匝的感應電動勢。

數值例子

一臺單相 3300/240 V，50 Hz 變壓器的鐵心中最大磁通為 0.0315 Wb。計算初級和次級繞組的匝數。

解答

已知資料：

$$\mathrm{\mathit{E_{\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{3300}\:\mathrm{V}\:\mathrm{and}\:\mathit{E_{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{240}\:V}}}$$

$$\mathrm{\mathit{f}\:=\:50\:Hz;\:\phi _{m}\:=\:0.0315\:Wb}$$

變壓器的電動勢方程為：

$$\mathrm{\mathit{E}\:=\:4.44\:\mathit{f\phi _{m}N}}$$

因此，對於初級繞組：

$$\mathrm{\mathit{N_{\mathrm{1}}}\:=\:\frac{\mathit{E_{\mathrm{1}}}}{4.44\:\mathit{f\phi _{m}}}\:=\:\frac{3300}{4.44\times 50\times 0.0315}}$$

$$\mathrm{\mathit{N_{\mathrm{1}}}\:=\:471.9\:=\:472}$$

同樣，對於次級繞組：

$$\mathrm{\mathit{N_{\mathrm{2}}}\:=\:\frac{\mathit{E_{\mathrm{2}}}}{4.44\:\mathit{f\phi _{m}}}\:=\:\frac{240}{4.44\times 50\times 0.0315}}$$

$$\mathrm{\mathit{N_{\mathrm{2}}}\:=\:34.32\:=\:35}$$

繞組不可能有部分匝數。因此，匝數必須是整數。