凸集的極點

設S是$\mathbb{R}^n$中的一個凸集。如果向量$x \in S$滿足：當$x= \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2$，其中$x_1, x_2 \in S$且$\lambda \in\left ( 0, 1 \right )$時，蘊含$x=x_1=x_2$，則稱x是S的極點。

示例

步驟1 − $S=\left \{ \left ( x_1,x_2 \right ) \in \mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1 \right \}$

極點，$E=\left \{ \left ( x_1, x_2 \right )\in \mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 1 \right \}$

步驟2 − $S=\left \{ \left ( x_1,x_2 \right )\in \mathbb{R}^2:x_1+x_2< 2, -x_1+2x_2\leq 2, x_1,x_2\geq 0 \right \}$

極點，$E=\left \{ \left ( 0, 0 \right), \left ( 2, 0 \right), \left ( 0, 1 \right), \left ( \frac{2}{3}, \frac{4}{3} \right) \right \}$

步驟3 − S是由點$\left \{ \left ( 0,0 \right ), \left ( 1,1 \right ), \left ( 1,3 \right ), \left ( -2,4 \right ),\left ( 0,2 \right ) \right \}$構成的多胞體

極點，$E=\left \{ \left ( 0,0 \right ), \left ( 1,1 \right ),\left ( 1,3 \right ),\left ( -2,4 \right ) \right \}$

備註

• 凸集S的任何點都可以表示為其極點的凸組合。

• 這僅適用於$\mathbb{R}^n$中的閉合有界集。

• 對於無界集，這可能不成立。

k個極點

凸集中的一個點被稱為k極點當且僅當它是S內k維凸集的內點，並且它不是S內(k+1)維凸集的內點。基本上，對於凸集S，k個極點構成k維開面。