擬凸函式和擬凹函式

設$f:S \rightarrow \mathbb{R}$，其中$S \subset \mathbb{R}^n$是一個非空凸集。如果對於每個$x_1,x_2 \in S$，都有$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )\leq \max\left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \},\lambda \in \left ( 0, 1 \right )$，則稱函式f為擬凸函式。

例如，$f\left ( x \right )=x^{3}$

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}$，其中$S\subset \mathbb{R}^n$是一個非空凸集。如果對於每個$x_1, x_2 \in S$，都有$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )\geq \min\left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \}, \lambda \in \left ( 0, 1 \right )$，則稱函式f為擬凹函式。

備註

• 每個凸函式都是擬凸函式，但反之不然。
• 既是擬凸函式又是擬凹函式的函式稱為擬單調函式。

定理

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}$，且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集。函式f是擬凸函式當且僅當$S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x \right )\leq \alpha \right \}$對於每個實數$\alpha$都是凸集。

證明

設f在S上是擬凸函式。

設$x_1,x_2 \in S_{\alpha}$，因此$x_1,x_2 \in S$且$\max \left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \}\leq \alpha$

設$\lambda \in \left (0, 1 \right )$，且設$x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \leq \max \left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \} \Rightarrow x \in S$

因此，$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )\leq \max\left \{ f\left ( x_1 \right ), f\left ( x_2 \right ) \right \}\leq \alpha$

因此，$S_{\alpha}$是凸集。

逆命題

設對於每個$\alpha$，$S_{\alpha}$都是凸集

$x_1,x_2 \in S, \lambda \in \left ( 0,1\right )$

$x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2$

設$x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2$

對於$x_1, x_2 \in S_{\alpha}$，$\alpha= \max \left \{ f\left ( x_1 \right ), f\left ( x_2 \right ) \right \}$

$\Rightarrow \lambda x_1+\left (1-\lambda \right )x_2 \in S_{\alpha}$

$\Rightarrow f \left (\lambda x_1+\left (1-\lambda \right )x_2 \right )\leq \alpha$

證畢。

定理

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}$，且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集。函式f是擬凹函式當且僅當$S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x \right )\geq \alpha \right \}$對於每個實數$\alpha$都是凸集。

定理

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}$，且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集。函式f是擬單調函式當且僅當$S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x \right )= \alpha \right \}$對於每個實數$\alpha$都是凸集。