偽凸函式

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一個可微函式，S是$\mathbb{R}^n$中的一個非空凸集，則如果對於每個$x_1,x_2 \in S$，當$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )\geq 0$時，有$f\left ( x_2 \right )\geq f\left ( x_1 \right )$，或者等價地，如果$f\left ( x_1 \right )>f\left ( x_2 \right )$，則$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )<0$，則稱f為偽凸函式。

偽凹函式

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一個可微函式，S是$\mathbb{R}^n$中的一個非空凸集，則如果對於每個$x_1, x_2 \in S$，當$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )\geq 0$時，有$f\left ( x_2 \right )\leq f\left ( x_1 \right )$，或者等價地，如果$f\left ( x_1 \right )>f\left ( x_2 \right )$，則$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )>0$，則稱f為偽凹函式。

備註

• 如果一個函式既是偽凸函式又是偽凹函式，則稱其為偽線性函式。

• 可微凸函式也是偽凸函式。

• 偽凸函式不一定是凸函式。例如：

  $f\left ( x \right )=x+x^3$不是凸函式。如果$x_1 \leq x_2,x_{1}^{3} \leq x_{2}^{3}$

  則，$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )=\left ( 1+3x_{1}^{2} \right )\left ( x_2-x_1 \right ) \geq 0$

  並且，$f\left ( x_2 \right )-f\left ( x_1 \right )=\left ( x_2-x_1 \right )+\left ( x_{2}^{3} -x_{1}^{3}\right )\geq 0$

  $\Rightarrow f\left ( x_2 \right )\geq f\left ( x_1 \right ) $

  因此，它是偽凸函式。

  偽凸函式是嚴格擬凸函式。因此，偽凸函式的每一個區域性極小值也是全域性極小值。

嚴格偽凸函式

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一個可微函式，S是$\mathbb{R}^n$中的一個非空凸集，則如果對於每個$x_1,x_2 \in S$，當$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )\geq 0$時，有$f\left ( x_2 \right )> f\left ( x_1 \right )$，或者等價地，如果$f\left ( x_1 \right )\geq f\left ( x_2 \right )$，則$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )<0$，則稱f為嚴格偽凸函式。

定理

設f是一個偽凸函式，並且假設對於某個$\hat{x} \in S$，$\bigtriangledown f\left ( \hat{x}\right )=0$，則$\hat{x}$是f在S上的全域性最優解。

證明

設$\hat{x}$是f的臨界點，即$\bigtriangledown f\left ( \hat{x}\right )=0$

由於f是偽凸函式，對於$x \in S$，我們有

$$\bigtriangledown f\left ( \hat{x}\right )\left ( x-\hat{x}\right )=0 \Rightarrow f\left ( \hat{x}\right )\leq f\left ( x\right ), \forall x \in S$$

因此，$\hat{x}$是全域性最優解。

備註

如果f是嚴格偽凸函式，則$\hat{x}$是唯一的全域性最優解。

定理

如果f是在S上可微的偽凸函式，則f既是嚴格擬凸函式又是擬凸函式。

備註

• 在$\mathbb{R}^n$的開集S上定義的兩個偽凸函式之和可能不是偽凸函式。

• 設$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一個擬凸函式，S是$\mathbb{R}^n$的非空凸子集，則f是偽凸函式當且僅當每個臨界點都是f在S上的全域性極小值。

• 設S是$\mathbb{R}^n$的非空凸子集，$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一個函式，使得對於每個$x \in S$，$\bigtriangledown f\left ( x\right )\neq 0$，則f是偽凸函式當且僅當它是一個擬凸函式。