嚴格擬凸函式

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集，則如果對於每個$x_1,x_2 \in S$且$f\left ( x_1 \right ) \neq f\left ( x_2 \right )$，都有$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )< max \:\left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \}$，則稱f為嚴格擬凸函式。

備註

• 每個嚴格擬凸函式都是嚴格凸函式。
• 嚴格擬凸函式並不意味著擬凸性。
• 嚴格擬凸函式可能不是強擬凸函式。
• 偽凸函式是嚴格擬凸函式。

定理

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$為嚴格擬凸函式，S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集。考慮問題：$min \:f\left ( x \right ), x \in S$。如果$\hat{x}$是區域性最優解，則$\hat{x}$是全域性最優解。

證明

假設存在$ \bar{x} \in S$使得$f\left ( \bar{x}\right )\leq f \left ( \hat{x}\right )$

由於$\bar{x},\hat{x} \in S$且S是凸集，因此，

$$ \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda \right )\hat{x}\in S, \forall \lambda \in \left ( 0,1 \right )$$

由於$\hat{x}$是區域性極小值，$f\left ( \hat{x} \right ) \leq f\left ( \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda \right )\hat{x} \right ), \forall \lambda \in \left ( 0,\delta \right )$

由於f是嚴格擬凸的。

$$f\left ( \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda \right )\hat{x} \right )< max \left \{ f\left ( \hat{x} \right ),f\left ( \bar{x} \right ) \right \}=f\left ( \hat{x} \right )$$

因此，這是一個矛盾。

嚴格擬凹函式

設$f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集，則如果對於每個$x_1,x_2 \in S$且$f\left (x_1\right )\neq f\left (x_2\right )$，都有

$$f\left (\lambda x_1+\left (1-\lambda\right )x_2\right )> min \left \{ f \left (x_1\right ),f\left (x_2\right )\right \}$。

例子

• $f\left (x\right )=x^2-2$

  這是一個嚴格擬凸函式，因為如果我們取定義中滿足約束的域中的任意兩點$x_1,x_2$，則有$f\left (\lambda x_1+\left (1- \lambda\right )x_2\right )< max \left \{ f \left (x_1\right ),f\left (x_2\right )\right \}$。因為該函式在負x軸上遞減，在正x軸上遞增（因為它是一個拋物線）。

• $f\left (x\right )=-x^2$

  它不是嚴格擬凸函式，因為如果我們取$x_1=1$和$x_2=-1$以及$\lambda=0.5$，則$f\left (x_1\right )=-1=f\left (x_2\right )$，但$f\left (\lambda x_1+\left (1- \lambda\right )x_2\right )=0$。因此它不滿足定義中規定的條件。但它是一個擬凹函式，因為如果我們取定義中滿足約束的域中的任意兩點，則有$f\left ( \lambda x_1+\left (1-\lambda\right )x_2\right )> min \left \{ f \left (x_1\right ),f\left (x_2\right )\right \}$。因為該函式在負x軸上遞增，在正x軸上遞減。