凸最佳化 - 仿射集

如果集合A對於任意兩點，穿過這兩點的直線都位於集合A中，則稱集合A為仿射集。

注意 −

• S是仿射集當且僅當它包含其所有點的仿射組合。

• 空集和單元素集都是仿射集和凸集。

  例如，線性方程的解集是一個仿射集。

證明

設S是線性方程的解集。

根據定義，$S=\left \{ x \in \mathbb{R}^n:Ax=b \right \}$

設$x_1,x_2 \in S\Rightarrow Ax_1=b$ 且 $Ax_2=b$

要證明：$A\left [ \theta x_1+\left ( 1-\theta \right )x_2 \right ]=b, \forall \theta \in\left ( 0,1 \right )$

$A\left [ \theta x_1+\left ( 1-\theta \right )x_2 \right ]=\theta Ax_1+\left ( 1-\theta \right )Ax_2=\theta b+\left ( 1-\theta \right )b=b$

因此，S是一個仿射集。

定理

如果C是一個仿射集，且$x_0 \in C$，則集合$V= C-x_0=\left \{ x-x_0:x \in C \right \}$是C的子空間。

證明

設$x_1,x_2 \in V$

要證明：$\alpha x_1+\beta x_2 \in V$ 對於某些$\alpha,\beta$

現在，根據V的定義，$x_1+x_0 \in C$ 且 $x_2+x_0 \in C$

現在，$\alpha x_1+\beta x_2+x_0=\alpha \left ( x_1+x_0 \right )+\beta \left ( x_2+x_0 \right )+\left ( 1-\alpha -\beta \right )x_0$

因為C是一個仿射集，所以$\alpha \left ( x_1+x_0 \right )+\beta \left ( x_2+x_0 \right )+\left ( 1-\alpha -\beta \right )x_0 \in C$。

因此，$\alpha x_1+\beta x_2 \in V$

證畢。