凸最佳化 - 方向

設S為$\mathbb{R}^n$中的閉凸集。非零向量$d \in \mathbb{R}^n$稱為S的方向，如果對於每個$x \in S，x+\lambda d \in S，\forall \lambda \geq 0.$

• S的兩個方向$d_1$和$d_2$稱為不同的，如果$d \neq \alpha d_2$，其中$ \alpha>0$。

• S的方向d被稱為極方向，如果它不能寫成兩個不同方向的正線性組合，即如果$d=\lambda _1d_1+\lambda _2d_2$，其中$\lambda _1, \lambda _2>0$，則$d_1= \alpha d_2$，其中$\alpha$為某個數。

• 任何其他方向都可以表示為極方向的正組合。

• 對於凸集S，方向d使得$x+\lambda d \in S$對於某個$x \in S$和所有$\lambda \geq0$成立，稱為S的**隱含**方向。

• 設E為某個函式$f:S \rightarrow$在$\mathbb{R}^n$中非空凸集S上達到最大值的點的集合，則E稱為S的暴露面。暴露面的方向稱為暴露方向。

• 方向為極方向的射線稱為極射線。

示例

考慮函式$f\left ( x \right )=y=\left |x \right |$，其中$x \in \mathbb{R}^n$。設d為$\mathbb{R}^n$中的單位向量

那麼，d是函式f的方向，因為對於任何$\lambda \geq 0，x+\lambda d \in f\left ( x \right )$。